Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
(Квитко Г.В)-УГД LECT_PRES 04 12 2013 / 4 GDE Neuman Schem Dief Eq 1-dim .docx
Скачиваний:
85
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
763.14 Кб
Скачать

ЛЕКЦИЯ 3.

Слайд 1. Эмблема РГУ.

Слайд 2.

Слайд 2.

Разностные методы решения уравнений газовой динамики.

Схема Неймана-Рихтмайера – «крест».

В этой лекции мы кратко изложим основные понятия и факты из теории разностных схем и методы построения вычислительных алгоритмов, которые находят применение при численном решении уравнений газовой динамики. В частности рассмотрим одну из однородных разностных схем – схему Неймана-Рихтмайера («крест»).

Слайд 3.

Теория разностных методов имеет два аспекта: 1) методы построения разностных схем; 2) обоснование выбранной разностной схемы, т.е. исследование сходимости вычислительного алгоритма или, лучше, оценка точности решения поставленной задачи. В практическом плане очень важно проводить исследование экономичности алгоритма по затратам машинного времени для достижения необходимой точности.

Изложение материала этой лекции предполагает, что студенты обладают минимальными сведениями из функционального анализа и теории дифференциальных уравнений с частными производными

3.1 Особенности численного решения задач газовой динамики.

Слайд 3. 1.

Отметим главную особенность, связанную с численным решением задач газовой динамики. Она состоит в том, что большинство задач являются нелинейными, а теория разностных методов развита в основном для линейных задач. Вместе с тем все эти утверждения и построения, являющиеся строгими лишь для линейных задач, в настоящее время применяют также и для задач газовой динамики, хотя в своем точном понимании они уже к ним неприменимы.

Это означает, что все основные понятия теории разностных схем – понятие аппроксимации, устойчивости и сходимости – нуждаются в пересмотре и обобщении. К сожалению, следует констатировать, что этот пересмотр в настоящее время еще далек от завершения.

На предыдущей лекции мы рассматривали широко используемые на практике модели, где газ движется в средах, лишенных вязкости и теплопроводности. Были записаны в разных формах системы уравнений газовой динамики для такого случая. Хорошо известно, что движение в таких средах описывается разрывными функциями. Это значит, что, вообще говоря, дифференциальные уравнения уже неприменимы для описания таких процессов. Как будет показано в следующих лекциях, движение в таких средах можно описывать с помощью систем интегральных или интегро-дифференциальных уравнений – законов сохранения массы, импульса, энергии.

Слайд 3.2.

Таким образом, в газовой динамике мы имеем дело, вообще говоря, с разрывными решениями интегро-дифференциальных уравнений. Следовательно, и аппроксимация должна пониматься как аппроксимация интегральных законов сохранения в классе разрывных решений. В частности от точного решения нельзя требовать ограниченности производных, так как они не существуют. Значит и представление о порядке аппроксимации должно быть получено с помощью других терминов и других норм близости решений.

Слайд 3. 3.

Точно также понятие сходимости разностной схемы существенно зависит от класса решений законов сохранения. Ясно, что норма близости двух обобщенных (разрывных) решений является слабой. В этой ситуации наиболее подходящей представляется норма пространства .

Аналогично понятие устойчивости нелинейной разностной схемы, перенесенное из линейной теории, имеет весьма ограниченную ценность ввиду отсутствия принципа суперпозиции решений. Это значит, что вопрос о приближении с заданной точностью решения системы нелинейных законов сохранения с помощью решения системы нелинейных разностных уравнений не расчленяется на отдельные, более простые требования. Он решается, как правило, целиком, притом для каждого узкого класса задач индивидуально – по-своему.

В то же время нельзя и недооценивать значение линейной теории разностных схем, тем более, что пока она является единственным инструментом исследования нелинейных схем. Решение системы законов сохранения, помимо линий разрыва, имеет области, в которых оно является классическим решением дифференциальных уравнений газовой динамики. Поэтому в этих областях можно применять понятие аппроксимации, точности и другие понятия линейной теории. На заданном фоне, т.е. фиксируя какое-либо решение газовой динамики, можно изучать развитие малых отклонений решения с помощью понятия устойчивости из линейной теории.

Таким образом, наш общий вывод таков. Необходимо применять все понятия и методы линейной теории разностных схем и для случая схем нелинейных, однако, столь же необходимо помнить, что они необоснованны и могут привести к неверным результатам.

Слайд 4.