Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
(Квитко Г.В)-УГД LECT_PRES 04 12 2013 / 3 GDE Law Consrv Differ One Dim .pptx
Скачиваний:
42
Добавлен:
10.02.2015
Размер:
751.43 Кб
Скачать

*Дивергентная

форма

УГД

Одном плоское течение газа

Система дифференциальных уравнений газовой динамики

(УГД), описывающая плоское одномерное течение невязкого

газа, которое зависит от времени t

и одной декартовой

координаты x , в эйлеровых переменных следующий имеет

вид:

 

 

 

( u)

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

t

 

x

 

 

(1.1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( u)

 

 

( p u2 )

0

(1.2)

 

 

 

t

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ( u

2

/ 2)]

 

 

u ( u ) pu

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 (1.3)

 

t

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В векторной форме эту систему можно переписать в виде:

 

a

 

b

0

 

 

 

 

t

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

u

2

 

a u

 

 

b p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E

 

 

 

 

 

 

 

 

pu uE

(1.4)

(1.5)

Здесь параметры газа - плотность,p- давление, -внутренняя энергия единицы массы газа,u - скорость в направлении оси x в общем случае, являются функциями координаты x и времени t. Функция E - это полная энергия единицы массы газа, определяемая соотношением:

E u2

(1.6)

Например, если уравнение состояния задано в виде:

(V , S)

(1.7)

Где V - удельный объем,V 1/ , S - энтропия,

T - температура газа по шкале Кельвина. Тогда с помощью

термодинамического тождества (второе начало термодинамики):

d pdV TdS

(1.8)

можно вычислить давление p и абсолютную температуру T через параметрыV , S по формулам:

p p(V , S)

(V , S)

T T (V , S)

(V , S)

 

 

V

S

 

 

(1.9)

(1.10)

 

 

 

 

Если нужно вычислить давление p по заданным величинам

 

 

 

 

и

, то это можно сделать в два приема: сначала из

неявного уравнения (1.7) находится функцияp

S S(V , )

, а

затем по формуле (1.9) определяется . Поэтому можно

считать, что зависимость

( p, )

 

 

p p( , )

(1.11)

легко вычислима.

Итак, любое из уравнений состояния, входящих в (1.11) может быть введено как уравнение замыкающее систему (1.1)-(1.3). Для некоторых простейших уравнений состояния эта зависимость сама по себе не сложна. Например, для идеального газа она имеет вид:

p ( 1)

 

p

(1.12)

 

( 1)

Величина - называется показателем адиабаты, обычноconst 1. Для идеального газа эта величина

определяется отношением удельных теплоемкостей газа, взятых при постоянном давлении cp и постоянном объеме:

cp / cv

Рассмотрим идеальный газ с уравнением состояния (1.11). В этом случае возможно, по меньшей мере, два варианта представления системы УГД в дивергентной форме, как системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Будем в качестве дополнительного уравнения использовать уравнение состояния для давления p: p ( 1) , оставив в качестве независимых функций системы тройку:

( , u, )

В этом случае система УГД примет следующий вид:

 

 

 

 

 

( u)

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

x

 

 

 

 

 

 

( u)

 

 

[ ( ( 1) u2 )]

0

t

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

/

2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ ( u

2

/ 2)]

 

u ( u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

t

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а давление просто находим из уравнения:

(1.1а)

(1.2а)

(1.3а)

p ( 1)

(1.4а)

Самостоятельно!

1.Записать дивергентную систему УГД для тройки функций:( , u, p) с дополнительным уравнением для внутренней энергии: p / ( 1)

2.Записать систему УГД (1.1а)-(1.4а) для ( , u, ), где

вместо внутренней энергии используется полная энергия газа: p / ( 1)

В дальнейшем нам понадобится также и недивергентная форма системы УГД. Технически ее нетрудно получить «в лоб» непосредственно из (1.1)-(1.3). Для этого необходимо сначала в каждом из уравнений выделить в чистом виде производные по времени от основных функций: ,u, , а затем, избавившись от возникших лишних производных по t, С помощью соответствующих исходных уравнений системы (1.1)-(1.3), провести необходимые преобразования. Произведя все эти операции, нетрудно представить эту систему, например, в следующем виде:

 

 

 

 

 

 

 

 

u

t

 

u

 

 

 

 

x

 

 

 

x

u

0

 

 

 

 

u

t

 

 

u

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

p

u

 

0

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

x

 

 

x

p0 x

p1 x

p0 x

0 x

0 x

u x

0

0

0

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Система дополняется как и прежде одним из следующих

 

уравнений состояния:

 

 

p

 

p ( 1)

 

 

(2.4)

 

 

( 1)