- •*Дивергентная
- •Система дифференциальных уравнений газовой динамики
- •В векторной форме эту систему можно переписать в виде:
- •Например, если уравнение состояния задано в виде:
- •Если нужно вычислить давление p по заданным величинам
- •Итак, любое из уравнений состояния, входящих в (1.11) может быть введено как уравнение
- •Рассмотрим идеальный газ с уравнением состояния (1.11). В этом случае возможно, по меньшей
- •В этом случае система УГД примет следующий вид:
- •Самостоятельно!
- •В дальнейшем нам понадобится также и недивергентная форма системы УГД. Технически ее нетрудно
- •Будем в качестве дополнительного уравнения использовать уравнение состояния для давления:p ( 1) оставив
- •Перепишем эту систему в матричном виде:
- •Найдем характеристические корни( 1, 2 ,
- •Откуда легко находим:
- •Самостоятельно!
- •СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОДНОМЕРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ В ЛАГРАНЖЕВЫХ МАССОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
- •Равенство (3.1) устанавливает взаимно однозначную связь между лагранжевой массовой координатой и переменными Эйлера
- •Уравнения газодинамики в лагранжевых массовых переменных.
- •Из (3.2) следует, что
- •Если считать, что в рассматриваемой нами задаче левая граница неподвижна, т.е.
- •Если левая граница газа движется по некоторому заданному закону x0 x0 (t) ,то
- •Возвратимся к прежнему обозначению для лагранжевой производной по времени: / d / d
- •Действительно, для фиксированной частицы имеем:
- •при записи УГД в лагранжевых массовых координатах мы будем использовать частные производные по
- •В векторной форме эту систему можно переписать следующим образом:
- •*СПАСИБО ЗА
*Дивергентная
форма
УГД
Одном плоское течение газа
Система дифференциальных уравнений газовой динамики
(УГД), описывающая плоское одномерное течение невязкого |
|||||||||||||
газа, которое зависит от времени t |
и одной декартовой |
||||||||||||
координаты x , в эйлеровых переменных следующий имеет |
|||||||||||||
вид: |
|
|
|
( u) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||||||
|
|
|
t |
|
x |
|
|
(1.1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( u) |
|
|
( p u2 ) |
0 |
(1.2) |
||||||
|
|
|
t |
|
|
x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
[ ( u |
2 |
/ 2)] |
|
|
u ( u ) pu |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 (1.3) |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В векторной форме эту систему можно переписать в виде:
|
a |
|
b |
0 |
|
|
|
|
t |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 |
|
a u |
|
|
b p |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
pu uE |
(1.4)
(1.5)
Здесь параметры газа - плотность,p- давление, -внутренняя энергия единицы массы газа,u - скорость в направлении оси x в общем случае, являются функциями координаты x и времени t. Функция E - это полная энергия единицы массы газа, определяемая соотношением:
E u2 |
(1.6) |
Например, если уравнение состояния задано в виде:
(V , S) |
(1.7) |
Где V - удельный объем,V 1/ , S - энтропия,
T - температура газа по шкале Кельвина. Тогда с помощью
термодинамического тождества (второе начало термодинамики):
d pdV TdS |
(1.8) |
можно вычислить давление p и абсолютную температуру T через параметрыV , S по формулам:
p p(V , S) |
(V , S) |
T T (V , S) |
(V , S) |
|
|
|
|||
V |
S |
|||
|
|
(1.9) |
(1.10) |
|
|
|
|
Если нужно вычислить давление p по заданным величинам |
|||
|
|
|
|
и |
, то это можно сделать в два приема: сначала из |
||
неявного уравнения (1.7) находится функцияp |
S S(V , ) |
||
, а |
|||
затем по формуле (1.9) определяется . Поэтому можно |
|||
считать, что зависимость |
( p, ) |
|
|
|
p p( , ) |
(1.11) |
легко вычислима.
Итак, любое из уравнений состояния, входящих в (1.11) может быть введено как уравнение замыкающее систему (1.1)-(1.3). Для некоторых простейших уравнений состояния эта зависимость сама по себе не сложна. Например, для идеального газа она имеет вид:
p ( 1) |
|
p |
(1.12) |
|
|||
( 1) |
Величина - называется показателем адиабаты, обычноconst 1. Для идеального газа эта величина
определяется отношением удельных теплоемкостей газа, взятых при постоянном давлении cp и постоянном объеме:
cp / cv
Рассмотрим идеальный газ с уравнением состояния (1.11). В этом случае возможно, по меньшей мере, два варианта представления системы УГД в дивергентной форме, как системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Будем в качестве дополнительного уравнения использовать уравнение состояния для давления p: p ( 1) , оставив в качестве независимых функций системы тройку:
( , u, )
В этом случае система УГД примет следующий вид:
|
|
|
|
|
( u) |
0 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
t |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
( u) |
|
|
[ ( ( 1) u2 )] |
0 |
|||||||||||
t |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/ |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
[ ( u |
2 |
/ 2)] |
|
u ( u |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а давление просто находим из уравнения:
(1.1а)
(1.2а)
(1.3а)
p ( 1) |
(1.4а) |
Самостоятельно!
1.Записать дивергентную систему УГД для тройки функций:( , u, p) с дополнительным уравнением для внутренней энергии: p / ( 1)
2.Записать систему УГД (1.1а)-(1.4а) для ( , u, ), где
вместо внутренней энергии используется полная энергия газа: p / ( 1)
В дальнейшем нам понадобится также и недивергентная форма системы УГД. Технически ее нетрудно получить «в лоб» непосредственно из (1.1)-(1.3). Для этого необходимо сначала в каждом из уравнений выделить в чистом виде производные по времени от основных функций: ,u, , а затем, избавившись от возникших лишних производных по t, С помощью соответствующих исходных уравнений системы (1.1)-(1.3), провести необходимые преобразования. Произведя все эти операции, нетрудно представить эту систему, например, в следующем виде:
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
t |
|
u |
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
u |
0 |
|
|
|
|
u |
||
t |
|
|
u |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
u |
|
0 |
|
|
|
|
|
||
t |
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
x |
p0 x
p1 x
p0 x
0 x
0 x
u x
0
0
0
(2.1)
(2.2)
(2.3)
Система дополняется как и прежде одним из следующих |
|
|||||
уравнений состояния: |
|
|
p |
|
||
p ( 1) |
|
|
(2.4) |
|||
|
|
|||||
( 1) |
||||||
|
|