Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральный законы Одномерное
течение.
3. Интегральные законы сохранения для одномерного течения.
3.1. Случай гладких решений.
При построении разностных схем для задач газовой динамики мы будем рассматривать в основном одномерные нестационарные течения газа, то есть течения, в которых все параметры среды зависят лишь от одной
пространственной координаты r типа одномерных движений – симметричные течения.
и от времени t. Обычно рассматривают три плоские, осесимметричные и сферически
Выпишем общую систему уравнений выражающих основные законы сохранения для случая одномерного движения сразу для всех трех случаев единым образом. Такие уравнения приведены в монографии :
( [2] Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. Квазилинейные уравнения. М. Наука, 1978, С.156 ).
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. |
Одномерное течение. |
Рождественский Борис Леонидович |
Николай Николаевич Яненко |
Дата рождения: |
28 сентября 1928 |
Дата рождения: |
22 мая 1921 |
|
Место рождения: |
Кратово (Московская |
Место рождения: |
г. Каинск, Томская губ. |
|
|
обл.),Московская обл. |
|
|
(Куйбышев) |
Дата смерти: 1 августа 2001 (72 года) |
Дата смерти: |
16 января 1984 (62 года) |
||
Место смерти: Москва |
Место смерти: |
Новосибирск |
||
Научная сфера:Прикладная математика, |
Научная сфера: |
|
Математика, механика, |
|
|
газовая динамика |
|
|
геометрия |
Место работы: ИПМ им. М. В. Келдыша |
Место работы: |
ИПМ им. М. В. Келдыша |
||
Учёная степень:доктор ф.м наук |
Учёная степень:д. ф.м н. Ак. АН СССР |
|||
Альмаматер: МГУ |
|
Альмаматер: ТГУ |
|
|
Научный руководитель: Тихонов А. Н. |
Научн. Рук. : |
П. К. Рашевский |
||
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральный законы Одномерное
течение.
Введем для описания одномерного течения для всех трех симметрий одну переменную следующим образом.
1.Плоское одномерное течение. Случай плоской симметрии. Величины постоянны в плоскостях .
2.Цилиндрическое одномерное течение. Случай цилиндрической симметрии.
В этом случае величины постоянны на поверхности цилиндров: |
(при |
фиксированном ). |
|
3.Сферически симметричное течение. Случай сферической симметрии. В этом случае величины постоянны на поверхности сфер
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное
течение.
Одномерные уравнения газовой динамики принимают вид:
(I-А) - (III-А)
В интегральных уравнениях (I-A), (II-A), (III-A), выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии соответственно, следует полагать в случае плоской, в случае цилиндрической и в случае сферической симметрии течения газа.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральный законы Одномерное
течение.
Внимание! В (I-А) - (III-А) рассматривается более упрощенный вариант нежели, чем представленный системой (I1) – (I3). Считается, что
отсутствует воздействие внешних сил на газ, а в занятом газом пространстве нет источников массы, импульса и энергии. Кроме того, мы полагаем, что все искомые газодинамические функции являются гладкими (отсутствуют разрывные решения).
Перепишем систему (I-A) - (III-A) в компактной векторной форме. Для этого введем следующие векторы (столбцы):
, ,
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральный законы Одномерное
течение.
В векторном виде система интегральных уравнений, выражающих законы сохранения в выбранном приближении, принимает вид:
(V)
По своему физическому смыслу интегралы, входящие в системы полученных выше уравнений, являются непрерывными (кусочно- непрерывными) ограниченными функциями либо переменных , либо переменных .
В сделанных выше нами предположениях, все газодинамические параметры - ограниченные и непрерывные (кусочно-непрерывные) функции. . Это означает (можно доказать), что для любого замкнутого
контура с границей из области определения решения имеет место векторное уравнение:
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральный законы Одномерное
течение.
(VI)
или следующая система для каждого из трех законов сохранения:
(I-Б)
(II-Б)
(III-Б)
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральный законы Одномерное
течение.
Если вернуться к более общей задаче с вязким теплопроводным газом, где присутствуют внешние силы , объемные источники с мощностью , а также тепловые потоки, то все эти факторы должны быть учтены в газодинамических уравнениях. В работе А.А. Самарского и Ю.П. Попова ([1], С.29) они приведены для случая плоского течения: (I-С), (II-С), (III-С).
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
В монографии ([3] С.К. Годунов. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М., Наука, 1976, С.102) система интегральных уравнений газовой динамики для случая плоского движения записана в виде, учитывающем известную формулу Остроградского-Грина. Мы приведем ее в обобщенном виде для случая трех симметрий.
Выше для гладких газодинамических функций было приведено несколько различных выражений, которые в том или ином интегральном виде отражали фундаментальные физические законы сохранения. В связи с этим было бы естественно предположить, что эти выражения должны быть
справедливы и для любых функциях, , описывающих реальные газовые течения, а не только на достаточно гладких функциях.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральные законы. Одномерное течение.
3.2.Случай разрывных решений.
Вреальных потоках встречаются поверхности, на которых физические
величины меняются скачком. Это ударные волны и контактные
разрывы. Из интегральных законов (VI) вытекают соотношения, связывающие величины по обе стороны разрыва. Эти соотношения носят название условий на ударных волнах или условий Рэнкина - Гюгонио.
Пусть разрыв распространяется со скоростью. Рассмотрим контур, который прилегает к линии разрыва, охватывая с обеих сторон некоторый ее участок. Из законов сохранения, выписанных для этого контура, следует, что вдоль линии разрыва, например, для плоского течения, выполняются следующие соотношения: