Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Институт прикладной математики и информационных технологий.
Численные методы газовой динамики
Квитко Геннадий Васильевич, к.ф.-м.н., доцент
кафедры прикладной математики ИПМИТ БФУ
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Математическая модель и уравнения газовой динамики.
Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Изд.4 2004. 424 с.
Александр Андреевич Самарский |
Юрий Петрович Попов |
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
1. Математическая модель газовой динамики.
Многие вопросы современной науки и техники в той или иной мере связаны с решением уравнений газовой динамики. В качестве примера можно назвать аэродинамику летательных аппаратов и задачи астрофизики, акустику, прогноз погоды и проектирование магнитогидродинамических генераторов электрической энергии, теорию реактивных двигателей, управляемый термоядерный синтез, транспортировку сильноточных релятивистских пучков заряженных частиц и многие другие актуальные проблемы.
Для теоретического анализа газодинамических явлений используется широко распространенный прием — математическое моделирование.
В газовой динамике изучается движение сжимаемых сплошных сред (газ, жидкость, плазмаи иногда даже твердые тела – при очень быстром действии на них очень высоких давлений).
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Математическая модель газовой динамики.
Свойство сжимаемости состоит в способности вещества изменять свой первоначальный объем под действием перепада давления и изменения температуры. Сжимаемость становится существенной при больших скоростях движения среды, соизмеримых со скоростью распространения звукав этой среде и превосходящих ее, так как при таких скоростях в среде могут возникать очень большие перепады давления и большие градиенты температуры.
Газ – это совокупность большого числа отдельных частиц (молекул, атомов, ионов), находящихся в непрерывном хаотическом движении, расстояние между которым существенно больше их собственных размеров.
Учет взаимодействия и движения каждой частицы газа является чрезвычайно трудной и практически невыполнимой задачей.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Математическая модель газовой динамики.
Поэтому для описания газа применяют статистический или континуальный подход. При таком подходе состояние ансамбля частиц газа характеризуется так называемой функцией распределения частиц .
Ее определяют или в 7-мерном фазовом пространстве (три координаты, три, компоненты скорости и время) или в 4-мерном пространстве (три координаты и время).
В первом случае рассматривается скалярная функция распределения, в которой аргументы – непрерывно меняющиеся величины в конечных или чаще в бесконечных интервалах.
Величина есть число частиц с координатами в интервале и скоростей в интервале , т.е. в элементе фазового пространства в момент времени .
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Математическая модель газовой динамики.
Сама функция |
распределения |
удовлетворяет интегро- |
дифференциальному кинетическому уравнению Больцмана: |
||
J{ f } |
(I.1.1) |
|
Интеграл столкновений |
J{ f } представляет собою некоторый |
|
функционал, определяющий изменение числа частиц газа в интервале , в
точке из-за взаимодействия с другими частицами внешней среды, в которой рассматриваемый газ распространяется. Мы этот случай не рассматриваем, поскольку он относится к проблеме кинетического наиболее - общего описания движения газа.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Математическая модель газовой динамики.
Во втором случае, который непосредственно является предметом изучения нашего курса лекций, функция распределения, описывающая состояние газа, является векторной функцией вида:
, (I.1.2)
зависящей от четырех аргументов , непрерывно и независимо меняющихся в интервале . В этом случае под частицей, строго говоря, следует понимать материальный элемент газа, занимающий бесконечно
малый объем и обладающий определенной средней скоростью , которая является функцией аргументов: .
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Математическая модель газовой динамики.
В выражении (I.1.2) функция – это плотность газа, то есть, масса газа,
приходящаяся на единицу объема , – это полная энергия единицы массы газа, – внутренняя энергия единицы массы газа.
В настоящее время общих методов решения задач газовой динамики до сих пор не существует.
Более того, в общем случае пока нет даже доказательств
существования и единственности большинства получаемых решений.
Это объясняется сложностью уравнений газовой динамики и прежде всего их нелинейностью.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Математическая модель газовой динамики.
1. Законы сохранения. Интегральная форма в эйлеровых переменных.
В предположении локального термодинамического равновесия из уравнения Больцмана следуют классические законы сохранения
газовой динамики в интегральной форме.
Они выражают собой три
фундаментальных физических закона сохранения:
массы, импульса и энергии.
Балтийский федеральный университет имени И. Канта
Интегральный закон сохранения массы.
1. Закон сохранения массы.
Пусть - некоторый фиксированный объем физического пространства (часть пространства), в котором происходит течение газа, - гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая этот объем. Масса газа , заключенная в в некоторый момент времени, выражается следующим объемным интегралом:
(I.1.2)
(обозначения те же, что и выше). Частицы газа в своем движении входят и выходят из объема , пересекая его границу . Количество газа , покидающего объем за единицу времени, составляет величину, выражаемую следующим поверхностным интегралом:
(I.1.3)
где - единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности , - скалярное произведение.