Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения масса (эйлеровы переменные)

Пусть - некоторый фиксированный объем физического пространства (часть пространства), в котором происходит течение газа, - гладкая замкнутая поверхность, ограничивающая этот объем. Масса газа , заключенная в в некоторый момент времени, выражается следующим объемным интегралом:

(I.1.2)

(обозначения те же, что и выше). Частицы газа в своем движении входят и выходят из объема , пересекая его границу . Количество газа , покидающего объем за единицу времени, составляет величину, выражаемую следующим поверхностным интегралом:

(I.1.3)

где - единичный вектор внешней нормали к элементу поверхности , - скалярное произведение.

Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения импульса.

2. Закон сохранения импульса.

При выводе второго уравнения газовой динамики – уравнения движения – предположим, что в среде (газ) действует некая внешняя сила с объемной плотностью .

Примерами такой силы могут служить: сила тяжести (гравитация), электромагнитная сила Лоренца, действующая на проводящий газ, движущийся в магнитном поле и другие . Газ, находящийся в объеме , обладает количеством движения (импульсом) равным:

(I.1.4)

Изменение этой величины со временем происходит за счет вытекания газа, покидающего объем .

Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения импульса.

Помимо объемной внешней силы , на газ, заключенный в выделенном объеме , действует сила со стороны остальной массы газа. Это взаимодействие носит поверхностный характер, и в общем случае сила

взаимодействия в каждой точке поверхности направлена под некоторым углом к внешней нормали. Вектор называют вектором поверхностных сил. Его можно разложить на две составляющие: нормальную, направленную в

сторону, противоположную нормали к элементу поверхности , и касательную , обусловленную вязкостью или силами трения:.

Касательная составляющая силы , связанная с наличием в среде вязкости – это, по сути, сила трения, возникающая при относительном движении слоев газа, которые соприкасаются по поверхности .

Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения импульса.

Если мы ограничимся рассмотрением невязких сред, то, , а сила поверхностного взаимодействия сведется к нормальной составляющей, которую можно представить в виде:

где - газокинетическое давление (скаляр). Учитывая все сказанное, запишем закон сохранения импульса в объеме :

(II)

Это выражение – интегральная форма уравнения движения среды. В

отличие от уравнения непрерывности (I), это уравнение векторное.

Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения энергии.

3. Закон сохранения энергии.

Чтобы получить третье уравнение, следует записать для объема закон сохранения энергии. Полная энергия газа – внутренняя плюс кинетическая в объеме вычисляется по формуле:

(I.1.5)

Ее изменение происходит за счет переноса газа через поверхность Ω, за счет работы внешних сил (объемных и поверхностных), а также за счет действия внешних источников энергии и массы, если таковые имеются.

Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения энергии.

Окончательное выражения уравнения для энергии имеет вид:

(III)

Здесь - мощность объемных источников энергии, распределенных в пространстве, например интенсивность джоулева нагрева электрическими токами, текущими в проводящем газе.

Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения энергии.

Последний член в (III) описывает приток энергии через поверхность объема за счет процессов теплопроводности, - вектор плотности теплового потока. Эта величина определяется через остальные параметры следующим образом (закон Фурье):

(I.1.6)

где T - температура. Если среда изотропна, k - скаляр, называемый коэффициентом теплопроводности. Этот коэффициент является, вообще говоря, является функцией термодинамического состояния: .

Уравнение (III) в газодинамике называют уравнением энергии.

Балтийский федеральный университет имени И. Канта

Интегральный закон сохранения энергии.

Полученные уравнения газовой динамики (III) , (II) и (III) представляют собой интегральную форму законов сохранения массы, импульса и энергии

соответственно. Все они записаны в переменных Эйлера, так как объем V газа, фигурирующий в формулах, фиксирован по отношению к эйлеровым координатам.

В газовой динамике к уравнениям (III) , (II) и (III) добавляются уравнения состояния газа.

(I.1.7)

Тогда задача определения течения сводится к нахождению пяти величин: трех компонент скорости и двух термодинамических величин