лекции / DSP_14
.pdf
1
Лекция 14. Эффекты квантования в цифровых системах (часть 1)
1.Цифровые системы с ФТ.
2.Источники ошибок квантования в цифровых системах с ФТ.
3.Параметры операции квантования.
4.Предположения об ошибках квантования.
5.Оценка шума АЦП.
14.1. Цифровые системы с ФТ
Реализация ЛДС предполагает моделирование ее структуры с учетом эффектов квантования данных.
В цифровой системе с ФТ используется представление данных с фиксированной точкой (ФТ) (рис. 14.1), когда максимальное по модулю значение данных удовлетворяют условию:
A 1.
Рис. 14.1. Распределения битов в ячейке памяти при ФТ
14.2. Источники ошибок квантования в цифровых системах с ФТ
Ошибкой квантования называют разность между истинным и квантованным значением данных. Ее источниками являются:
1.АЦП.
В результате квантования дискретный сигнал x(nT) преобразуется в цифровой x(nT). В каждый момент времени nT во входном сигнале создается ошибка квантования eвх (nT) — случайная (стохастическая) последовательность,
называемая шумом АЦП.
2.Умножители.
При умножении двух чисел с ФТ разрядности b (без учета знака) произведение имеет разрядность 2b. При сохранении произведения в ячейке разрядности b в каждый момент времени nT допускается ошибка квантования.
В целом умножители создают ошибки квантования eс (nT), называемые
собственным шумом цифровой системы.
Пример 14.1
Определить число значащих битов сомножителей и произведения двоичных чисел 0,101 и 0,001.
3.Квантование коэффициентов передаточной функции (РУ).
Выполняется до обработки входного сигнала, но в процессе его обработки возникают искажения, обусловленные ошибкой квантования коэффициентов.
4.Сумматоры.
При сложении данных с ФТ результат по модулю может превысить единицу. Это явление называют переполнением, а соответствующую ошибку — ошибкой переполнения.
2
14.3. Параметры операции квантования
Операция квантования (рис. 14.2) характеризуется тремя параметрами:
R — количество уровней квантования (без учета знака);
b — количество значащих битов для кодирования R уровней.
Кодированием данных называют представление их квантованных значений в ячейке памяти с ФТ (рис. 14.2).
R 2b ; |
(14.1) |
|
|
|
|
b int(log2 R); |
|
(14.2) |
|||
|
Q — шаг квантования — вес младшего бита (см. рис. 14.1): |
|
|||||||
|
|
|
|
|
Q 1 |
1 |
2 b . |
|
(14.3) |
|
|
|
|
|
R |
2b |
|
|
|
Пример 14.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определить значения R, b , Q и разрядность ячейки с ФТ (см. рис. 14.2): |
|||||||||
R 5; b 3; Q = 2 3 ; разрядность ячейки (b 1) 4 (с учетом знака). |
|||||||||
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0001 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0000 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
n |
|
1001 |
||||||||
|
1010 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1011 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x n |
|
|
|
|
|
|
|
|
0100 
0011 
0010 
0001 
0000
1001 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
n |
1010 
1011 
Рис. 14.2. Нелинейная операция квантования
14.4. Предположения об ошибках квантования
Анализ взаимосвязанных ошибок квантования в цифровой системе с ФТ очень сложен, поэтому на практике он выполняется с помощью компьютерного моделирования.
Аналитически можно определить оценки шума квантования:
детерминированные (максимальные мо модулю значения шума) и
статистические (статистические характеристики шума)
при следующих предположениях об ошибках квантования:
1.Ошибки квантования от различных источников независимы друг от друга.
Следовательно:
эффекты, обусловленные ошибками квантования разных источников можно рассматривать отдельно и независимо друг от друга;
3
для шумов от разных источников и их оценок справедливо свойство
аддитивности.
2.Шумы квантования не коррелированны с сигналами.
Следовательно, для сигналов и шумов справедливо свойство аддитивности:
x(nT) x(nT) eвх (nT); y(nT) y(nT) eвых (nT),
где:
x(nT), y(nT) — дискретные воздействие и реакция; x(n), y(n) — цифровые воздействие и реакция;
eвх (nT), eвых (nT) — шумы на входе и выходе цифровой системы.
Это позволяет рассматривать отдельно и независимо друг от друга два процесса:
обработку входного дискретного сигнала линейной дискретной системой
(ЛДС):
x(nT) |
|
y(nT) |
||
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.3. Обработка дискретного сигнала ЛДС
обработку входного шума нелинейной цифровой системой (рис. 14.4):
ec(nT)
eвх(nT) |
|
|
eвых(nT) |
|
|
ЦС
Рис. 14.4. Обработка шума цифровой системой
3.Шумы квантования представляют собой равномерный белый шум.
Плотность вероятности ошибки равномерного белого шума имеет равномерный характер. Любые два соседних отсчета белого шума не коррелированны друг с другом. (СПМ равномерна в бесконечной полосе частот, поэтому шум белый).
14.5.Оценка шума АЦП
Сучетом предположений об ошибках квантования для оценивания шума АЦП можно использовать линейную модель (рис. 14.5). (Собственный шум, ошибки квантования коэффициентов и ошибки переполнения отсутствуют; обработка входного шума рассматривается независимо от обработки дискретного сигнала.)
e (nT) |
|
eАЦП(nT) |
||
|
||||
вх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 14.5. Линейная модель для оценки шума АЦП
Детерминированные оценки (максимальные по модулю значения шума) зависят от правила присваивания отсчету квантованного значения:
при усечении (см. рис. 14.2) отсчету присваивается значение нижнего уровня квантования;
4
Детерминированная оценка входного шума eвх (nT) при усечении равна
max eвх (nT) Q ;
n
при округлении (до ближайшего) отсчету присваивается значение нижнего уровня квантования, если он расположен ниже середины между соседними уровнями квантования, и верхнего уровня квантования в противном случае.
Детерминированная оценка входного шума eвх (nT) при округлении равна
max |
|
e |
(nT) |
|
|
Q |
2 b 1 |
. |
(14.4) |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||
n |
|
вх |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Далее по умолчанию будем подразумевать округление.
С учетом предположения 3 статистические оценки включают в себя следующие
статистические характеристики:
математическое ожидание;
дисперсию.
Плотность вероятности равномерного белого шума при округлении представлена на рис. 14.6.
p(eвх)
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eвх |
|
||||
|
|
|
|
Q |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 14.6. Плотность вероятности равномерного белого шума eвх (nT) |
при |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
округлении |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Математическое ожидание шума eвх (nT)равно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Q 2 |
|
|
|
|
|
|
e2 |
вх |
|
Q 2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
μeвх |
eвх peвх (eвх )deвх |
|
|
|
|
|
eвх deвх |
|
|
|
|
|
0 . |
(14.5) |
|||||||||||||||
Q |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q 2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дисперсия шума eвх (nT)равна: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Q 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e3вх |
|
Q 2 |
|
|
|
2 2b |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
σ2eвх |
e2 |
вх peвх (eвх )deвх |
|
|
|
|
|
Q2 |
|
|
|
|
. |
(14.6) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
||||||||||||||||||||
Q 2 |
|
|
|
|
|
|
Q |
3 |
|
Q 2 12 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Мощность шума (дисперсия в децибелах) равна:
Peвх =10lg(σ2eвх |
) 10lg |
|
2 |
2b |
(6b 10,8)(дБ). |
(14.7) |
||
|
|
|
||||||
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||
При увеличении разрядности на один бит мощность шума уменьшается на 6 Дб.
Получим оценки выходного шума АЦП eАЦП (nT) (см. рис. 14.5).
Используем соотношение вход/выход в виде формулы свертки:
eАЦП (nT) eвх[(n m)T]h(mT).
m 0
Детерминированная оценка:
5
|
|
|
|
|
max |
eАЦП (nT) |
max |
eвх[(n m)T]h(mT) |
|
n |
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
max |
|
eвх (nT) |
|
|
|
h(mT) |
|
|
|
|
|
h(mT) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(14.8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
|
|
m 0 |
|
|
|
2 m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Вероятностные оценки (см. вывод в книге): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
μe |
0. |
|
|
|
|
|
|
(14.9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
АЦП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Q |
2 |
2 |
|
||||||
|
|
|
|
σ2eАЦП |
σ2eвх |
|
h(mT) |
|
|
|
|
|
h(mT) |
|
. |
(14.10) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 m 0 |
|
|
|
||||||
Таким образом, оценки шума АЦП на выходе ЛДС зависят от:
1.Разрядности АЦП.
2.ИХ ЛДС.