лекции / DSP_12

1

Лекции 12. Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

1.Вычисление спектральной плотности конечной последовательности.

2.Ряд Фурье непрерывной периодической функции.

3.ДПФ периодической последовательности.

4.ДПФ конечной последовательности.

5.Основные свойства ДПФ.

6.Вычисление свертки с помощью ДПФ.

12.1. Вычисление спектральной плотности конечной последовательности

Постановка задачи: вычислить СП конечной последовательности длины N

(см. (11.2)):

n 0

СП — периодическая функция, поэтому она вычисляется на периоде д 2 .

T

При этом необходимое количество точек заранее неизвестно, т. е. вычисление невозможно выполнить методом прямой подстановки, а значит формула (12.1) не описывает алгоритм вычисления СП.

Таким образом, постановка задачи заключается в выводе формулы, описывающей алгоритм вычисления СП.

12.2. Ряд Фурье непрерывной периодической функции

Спектр аналогового периодического сигнала представляет собой бесконечную последовательность в частотной области.

Ряд Фурье (12.2) по определению должен быть абсолютно сходящимся:

12.3.ДПФ периодической последовательности

Рассмотрим возможность разложения в ряд Фурье периодической последовательности.

Выполнив замену t nT , получим:

Ts NT ; xp (t) xp (nT);

запишем формулу для коэффициентов Фурье — X(k) (индекс «а» снят; назначение «тильды» поясним позже):

Вывод: переход t nT привел к тому, что коэффициенты стали периодическими (поэтому добавлен индекс «p»).

Рассмотрим, к чему приведет подстановка коэффициентов Xp (k) в правую часть

ряда (12.2):

k

Оказывается, что полученный ряд не удовлетворят условию абсолютной сходимости (абсолютно расходящийся):

аследовательно, разложение периодической последовательности в ряд Фурье невозможно.

Определим, чему соответствует один период ряда (12.9):

k0

Сэтой целью определим значения непрерывной периодической функции xp (t)

(12.2) в дискретных точках nT :

k

3

Заменим вычисление бесконечной суммы вычислением бесконечного числа конечных сумм из N слагаемых, сдвинутых друг относительно друга по оси частот k на N :

m

обеспечивается равенство левых частей, т.е. в (12.10) можем записать левую часть:

1.Соотношение (12.12) описывает связь между спектрами периодических дискретного и аналогового сигналов подобно связи между СП непериодических сигналов, а именно: спектр периодического дискретного сигнала равен бесконечной сумме копий спектров аналогового сигнала, сдвинутых друг относительно друга по оси частот k на N .

2.Последовательность xp(n) и ее спектр Xp (k) имеют одинаковые периоды N

соответственно по n и по k .

Дискретным преобразованием Фурье периодической последовательности xp(n)

называют пару формул:

т. к. где постоянный множитель принято ставить в обратном преобразовании; xp(n) — N-точечная последовательность (один период);

Xp (k) — N-точечное ДПФ (коротко — ДПФ) (один период).

12.4. ДПФ конечной последовательности

Сделаем два предположения:

1. Конечная последовательность x(n) длины N — это__________________

4

_____________________________________________________________

x(n) xp (n), n 0,1,..., N 1.

где Δω 2π .

NT

Формулы ДПФ (12.14)—(12.15) примут общий вид для периодической последовательности с периодом N и конечной последовательности длины N :

для конечной последовательности x(n) длины N ДПФ X(k) — это дискретные отсчеты ее СП в N дискретных точках на периоде д .

Поставленная задача — получить формулу, описывающую алгоритм вычисления СП конечной последовательности решена. Количество точек при вычислении СП совпадает с длиной конечной последовательности N .

Вопрос о достаточности точек N дает теорема Котельникова в частотной области, симметричная теореме Котельникова во временной области.

Теорема Котельникова во временной области: непрерывный сигнал с финитной спектральной плотностью «длительности» Fs 2 fв может быть точно восстановлен

Теорема Котельникова в частотной области: непрерывная спектральная плотность

финитного сигнала длительности Ts NT может быть точно восстановлена по

12.5. Основные свойства ДПФ

Свойства ДПФ подобны свойствам СП:

1. ДПФ — периодическая последовательность с периодом N .

5

2.Линейность.

3.Сдвиг ДПФ на k0 отсчетов вправо:

x(n) X(k) x(n)WNk0n X(k k0)

4.ДПФ задержанной последовательности:

x(n) X(k)

где L N1 N2 1 — длина свертки.

С целью сокращения количества арифметических операций свертку вычисляют с использованием ДПФ и ОДПФ:

1.Воздействие и ИХ дополняют нулями до одинаковой длины L.

2.Переходят к круговой свертке для последовательностей одинаковых длин L:

Результат вычисления круговой свертки представляет собой периодическую последовательность y(n) с периодом L.