лекции / DSP_13

1

Лекция 13. Быстрое преобразование Фурье (БПФ)

1.БПФ Кули-Тьюки.

2.Одноэтапный алгоритм БПФ.

3.Двухэтапный алгоритм БПФ.

4.ν-этапныйй алгоритм БПФ.

5.Эффективность алгоритма БПФ.

6.Формирование начальных условий в алгоритме БПФ.

7.Вычисление ОДПФ с помощью БПФ.

13.1. БПФ Кули-Тьюки

Рассмотрим, какое количество арифметических операций с комплексными числами требуется для вычисления ДПФ (12.17):

Порядок вычислительной сложности относительно длины последовательности N:

O(N2).

БПФ — это совокупность алгоритмов, предназначенных для быстрого вычисления ДПФ.

Первый БПФ Кули-Тьюки (БПФ по основанию 2) опубликован в 1965 г., в нем длина исходной последовательности должна быть степенью двойки:

Если длина N не удовлетворяет условию (13.1), последовательность дополняется нулями.

Основная идея — поэтапное (циклическое) вычисление ДПФ через ДПФ вдвое меньшей последовательности. Всего этапов.

13.2. Одноэтапный алгоритм БПФ

Начальные условия алгоритма: исходную N-точечную последовательность разделим на две N2-точечные (рис. 13.1 и 13.2):

четных отсчетов;

нечетных отсчетов.

Получили группу «чет N2 + неч N2», которую используем для расчета N-

точечного ДПФ.

3

Определим поворачивающей множитель на второй половине периода :

Вывод: поворачивающий множитель WNk достаточно вычислить на первой половине

периода N , а на второй — изменить знак.

2

Это позволяет заменить последовательное вычисление N-точечного ДПФ в (13.3) параллельным вычислением через N2-точечные ДПФ (рис. 13.3).

Согласно (13.7), одновременно вычисляются следующие отсчеты ДПФ:

N

при k 0 X(0) и X ;

2

В (13.7) размерность вычисляемого ДПФ соответствует нижнему индексу WNk .

4

Выигрыш в количестве арифметических операций определим позже для полного υ- этапного алгоритма. Пока отметим, что это оказалось возможным благодаря делению исходной последовательности на четные и нечетные отсчеты.

z(0) z(1)

Начальные условия

Рис. 13.3. Поэтапное вычисление N-точечного ДПФ

Параллельное вычисление в (13.7) при фиксированном k называют операцией «бабочка» и изображают в виде сигнального графа (рис. 13.4).

k 0,1,..., N 1 2

Рис. 13.4. Сигнальный граф операции «бабочка»

Для вычисления N-точечного ДПФ по формуле (13.7) требуется N «бабочек».

2

13.3. Двухэтапный алгоритм БПФ

Начальные условия алгоритма: каждую из N2-точечных последовательностей разделим на две N4-точечные (рис. 13.1—13.2):

четных отсчетов (в порядке следования, считая от нуля);

нечетных отсчетов (в порядке следования, считая от нуля).

Получили две группы «чет N4 + неч N4».

Используем их для расчета двух N2-точечных ДПФ X0(k) и X1(k) через N4- точечные ДПФ по формуле (13.7).

Это первый этап двухэтапного алгоритма.

Количество формул увеличилось вдвое, а размерность ДПФ в каждой из них вдвое уменьшилась.

5

Обозначим:

X00(k) и X01(k) — N4-точечные ДПФ четных и нечетных отсчетов в первой группе;

X00(k) и X01(k) — N4-точечные ДПФ четных и нечетных отсчетов во

второй группе;

Формулы (13.7) примут вид:

13.4. ν-этапныйй алгоритм БПФ

Рассмотренную закономерность легко распространить на на трехэтапный алгоритм БПФ:

начальные условия: каждая из N4-точечных последовательностей делится

на две «чет N8 + неч N8» и таких групп четыре;

первый этап — расчет N4-точечных ДПФ через N8-точечные ДПФ с использованием четырех формул типа (13.7).

второй этап — расчет N2-точечных ДПФ через N4-точечные ДПФ с использованием двух формул типа (13.7).

третий этап — расчет N-точечного ДПФ через N2-точечные ДПФ по формуле

(13.7).

И т. д.

Процесс деления исходной последовательности на чет и нечет можно продолжить до тех пор, пока в группе не останется два отсчета — один чет, второй — нечет.

Получим N групп 2-точечных последовательностей. Это начальные условия -

2

этапного алгоритма БПФ (рис. 13.1—13.2).

Первый этап — особенный, т. к. на этом этапе вычисляются N 2-точечных ДПФ

2

непосредственно по 2-точечным последовательностям (рис. 13.4). Для этого

требуется N формул типа (13.7).

2

Запишем одну из них, используя условные обозначения: z(0) и z(1) — четный и

Z(k 1) z(0) W2kz(1)

k 0

точечного БПФ представлен на рис. 13.5.

X (7)

x(7)

Рис. 13.3. Сигнальный граф 8-точечного БПФ

13.5. Эффективность алгоритма БПФ

Определим количество арифметических операций с комплексными числами в БПФ:

количество этапов — log2 N ;

количество бабочек на каждом этапе — N ;

2

количество арифметических операций с комплексными числами для одной бабочки:

2

3

1

ИТОГО — 3N log2 N операций.

2

Порядок вычислительной сложности относительно длины последовательности N:

O(Nlog2 N) .

Выигрыш в количестве операции по сравнению с ДПФ для N 1024 в 100 раз и он возрастает с ростом длины N.

13.6. Формирование начальных условий в алгоритме БПФ

Начальную расстановку отсчетов исходной последовательности в -этапном алгоритме БПФ называют прореживании последовательности.

Рассмотрим алгоритм прореживания последовательности на примере 8-точечного БПФ (рис. 13.2) и результаты обобщим.

7

Вывод: Для алгоритма БПФ отсчеты исходной последовательности должны быть расставлены в бит-реверсивной последовательности своих двоичных номеров.

13.7. Вычисление ОДПФ с помощью БПФ

ОДПФ (12.18):

Алгоритм вычисления ОДПФ (12.18) с помощью БПФ включает в себя следующие шаги:

обе части равенства умножаются на N и выполняется операция их комплексного сопряжения (символ *):

выполняется операция комплексного сопряжения обеих частей полученного равенства с делением на N :