Добавил:

naklpakl Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Предмет:

Цифровая обработка сигналов

Файл:

лекции / DSP_4

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.04.2023

Размер:

217.72 Кб

Скачать

☆

Лекция 4. Линейные дискретные системы: описание в z- области

1.Передаточная функция. Соотношения вход/выход в z-области.

2.Рекурсивные звенья 1-го и 2-го порядков.

3.Карта нулей и полюсов.

4.Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения.

5.Разновидности представления передаточной функции рекурсивной ЛДС.

6.Второй критерий устойчивости ЛДС.

4.1.Передаточная функция. Соотношения вход/выход в z-области

Основной характеристикой ЛДС в z-области является z-изображение ее ИХ h(n):


H(z) h(n)z n ,	(4.1)

n 0

которое называют передаточной функцией. Это математическое определение передаточной функции.

Получим определение ПФ, подобное тому, которое было введено в теории линейных

аналоговых цепей.

Запишем соотношение вход/выход в виде формулы свертки (2.2):


y(n) x(m)h(n m) .	(2.2)

m 0

Согласно теореме о свертке, в z-области ему соответствует соотношение вход/выход:

Y(z) H(z)X(z).				(4.2)
Отсюда имеем определение передаточной функции:
			.
	H(z)	Y(z)		(4.3)
	H(z)	X(z)		(4.3)
		X(z)

Передаточной функцией ЛДС H(z) называется отношение z-изображения реакции к z-изображению воздействия при ННУ.

Получим соотношение вход/выход, соответствующее РУ (2.4):

N 1	M 1
y(n) bix(n i)	ak y(n k).	(2.4)
i 0	k 1

Выполним Z-преобразование левой и правой частей, используя свойство линейности и теорему о задержке:

N 1 M 1

Y(z) biX(z)z i akY(z)z k ,

i 0 k 1

приведя подобные слагаемые:
	M 1	k		N 1	i ,
Y(z) 1 ak z		k	X(z) biz		i ,
	k 1			i 0
	k 1			i 0

получаем соотношение вход/выход в виде:

	N 1	i
	biz	i
Y(z)	i 0		X(z)	(4.4)
Y(z)	M 1		X(z)	(4.4)
	M 1

1 ak z k

k 1

и, с учетом (4.3), передаточную функцию рекурсивной ЛДС общего вида — дробнорациональную:

				2
	N 1	i
	biz	i
H(z)	i 0		.	(4.5)
H(z)	M 1		.	(4.5)
	M 1

1 ak z k

k 1

Выводы:

1.Передаточная функция является характеристикой собственно ЛДС, т. к. она зависит только от параметров ЛДС.

2.Порядок рекурсивной ЛДС равен максимальной (по модулю) степени z — степени знаменателя (M 1) при (N 1) (M 1) (по умолчанию).

Передаточная функция нерекурсивной ЛДС имеет вид (см. (2.6)):

N 1	N 1
H(z) biz i	h(n)z n	.	(4.6)
i 0	n 0

Порядок нерекурсивной ЛДС равен (N 1).

4.2. Рекурсивные звенья 1-го и 2-го порядков

Рекурсивными звеньями 1-го и 2-го порядков (коротко звеньями) называют рекурсивные ЛДС 1-го и 2-го порядков.

Рекурсивное звено называют базовым, если числитель его передаточной функции равен единице.

1) передаточная функция звена 1-го порядка:

H(z)			b b z 1
			0		1			;			(4.7)
			1 a z 1					;			(4.7)
			1 a z 1
			1
базового звена:
H(z)				1			;				(4.8)
H(z)			1 a z 1				;				(4.8)
			1 a z 1
			1
2) передаточная функция звена 2-го порядка (биквадратного звена):
H(z)		b b z 1 b z 2
		0	1				2			;	(4.9)
		1 a z 1			a					;	(4.9)
		1 a z 1			a		2	z 2
			1				2
базового звена:
H(z)			1						.		(4.10)
H(z)	1 a z 1				a	2	z 2		.		(4.10)
			1			2

В таблице соответствий имеем соответствие между передаточной функцией и ИХ базовых звеньев:


	H(z)		1		h(n) ( a )n			;		(4.11)

		1 a z 1					1
	1

1						n	sin (n 1)
H(z)				h(n) r					.	(4.12)

	1 a1z 1 a2z 2						sin

4.3. Карта нулей и полюсов

Нулями передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых она обращается в ноль.

Полюсами передаточной функции (4.5) называют значения z, при которых ее знаменатель обращается в ноль.

Карта нулей и полюсов — это символическое изображение нулей и полюсов на z-

плоскости одновременно с единичной окружностью.

Пример 4.1

Определить нули и комплексно-сопряженные полюсы передаточной функции звена 2-го порядка (самостоятельно, все уже было в примере 3.7):


H(z)	1 z 1		z 2		,	(4.13)
		1 0.64z		2
1 0.8z

построить карту нулей и полюсов, записать ИХ с учетом ННУ (см. пример 3.8).

1. Определяются радиус r и аргумент комплексно-сопряженных полюсов:

r 0,8

arccos	a1	arccos	0,8	arccos	1	2	.

	2r		2 0,8		2	3

2.Записываются комплексно сопряженные полюсы:

		j		j	2
z	re		0,8e
				3 .
1,2

3.Для определения нулей передаточная функция записывается с положительными степенями z и определяются корни числителя — нули:

							z2 z 1 0
		1			1	j
z			1	1			3
			2
1,2	2			2		2

4.Если нули — комплексно-сопряженные, определяется их радиус и аргумент:

r		1	3	1;
r				1;
		4 4
							1
					3
					3
	arctg					:		arctg(	3)	.
	arctg					:		arctg(	3)	.
				2			2		3
				2			2		3

Нули записываются в показательной форме:

		j	j
z	re	j	j	3
z	re		1e	3
1,2

5.Строится карта нулей и полюсов.

6.Записывается ИХ, сначала без учета ННУ, затем — с учетом ННУ:

4.4.Взаимосвязь передаточной функции и разностного уравнения

Взаимосвязь передаточной функции и РУ следует из их сравнения:

	N 1	i
	biz		N 1	M 1
	i 0
H(z)			y(n) bix(n i) ak y(n k).
	M 1
	1 ak z k		i 0	k 1

k 1

Выводы:

1.Числитель передаточной функции соответствует воздействиям.

Знак коэффициентов bi не меняется.

Степень z i соответствует задержке на i, при этом:

b0z 0 b0 b0x(n)

2.Знаменатель передаточной функции соответствует реакции.

Единица соответствует y(n) .

Знак коэффициентов ak меняется на противоположный.

Степень z k соответствует задержке на k.

Пример 4.2

Записать РУ звена 2-го порядка:

H(z)

1 z 1 z 2

1 0.8z 1 0.64z 2

y(n) x(n) x(n 1) (n 2) 0,8y(n 1) 0,64y(n 2)

Пример 4.3

Записать передаточную функцию, соответствующую РУ:

y(n) x(n) 0,57x(n 1) 1,2x(n 2) 0,9y(n 1) 0,81y(n 2)

1 0,57z 1 1,2z 2 H(z) 1 0,9z 1 0,81z 2 .

4.5. Разновидности представления передаточной функции рекурсивной ЛДС

Разновидности представления рекурсивных ЛДС обусловлены возможностью различного математического представления дробно-рациональной функции (4.5):

	N 1	i
	biz	i
H(z)	i 0		:
H(z)	M 1		:
	M 1

1 ak z k

k 1

1) в виде произведения простейших множителей:

H(z) b0M 1 1 βk z 1 ,

k 1 1 αk z 1

где βk ,αk — нули и полюсы, в общем случае попарно комплексно сопряженные;

2)в виде произведения множителей второго порядка с вещественными коэффициентами:

(M 1)/2 b

z 1

z 2

H(z)

k 1

1 a

z 1

z 2

M 1

или при K int

H(z) Hk (z)

;

(4.14)

k 1

z 1 b

z 2

(z)

(4.15)

1 a

z 1 a

z 2

где Hk (z) — передаточная функция биквадратного звена. 3) в виде суммы простых дробей:

M 1	A
H(z)	k	,	(4.16)

k 11 k z 1

где Ak — константа разложения при k-м полюсе, такого же типа что и полюс. 4) в виде суммы дробей второго порядка с вещественными коэффициентами:

	(M 1)/2	B		B	z 1
H(z)		0k		1k			;
H(z)		1 a	z 1 a				;
	k 1	1 a	z 1 a			z 2
		1k			2k

M 1

или при K int

H(z) Hk (z)

(4.17)

k 1

z 1

Hk (z)

(4.18)

1 a

z 1 a

z 2

4.6. Второй критерий устойчивости ЛДС

Определим отображение в z-области первого критерия устойчивости (2.7):

h(n)

(2.7)

n 0

Представим передаточную функцию в виде суммы простых дробей:

M 1

H(z)

k 11 k z 1

Определим ИХ (см. (3.6)):

M 1

h(n) Ak kn

k 1

Подставим ИХ в (2.7):

M 1

n .

Ak kn

n 0

k 1

n 0 k 1

Изменим порядок суммирования:

M 1

n .

k 1

n 0

Т. к. первая сумма конечна, это условие выполняется при:

k 1.

В общем случае полюса комплексно-сопряженные, поэтому:

re j	r 1.

Второй критерий устойчивости: для того чтобы ЛДС была устойчивой необходимо и достаточно чтобы все полюсы передаточной функции находились внутри единичного круга.

Соседние файлы в папке лекции

#
28.04.2023283.88 Кб12DSP_13.pdf
#
28.04.2023242.02 Кб6DSP_14.pdf
#
28.04.2023233.38 Кб6DSP_15.pdf
#
28.04.2023237.41 Кб10DSP_2.pdf
#
28.04.2023285.08 Кб11DSP_3.pdf
#
28.04.2023217.72 Кб8DSP_4.pdf
#
28.04.2023212.21 Кб11DSP_5.pdf
#
28.04.2023188.08 Кб12DSP_6.pdf
#
28.04.2023320.69 Кб17DSP_7.pdf
#
28.04.2023232.49 Кб13DSP_8.pdf
#
28.04.2023220.6 Кб12DSP_9.pdf