Основы_акустики_Гринченко_Вовк

υr = υ0exp(–iωt). Такую модель источника называют пульсирующая сфе- ра. Расположим начало системы координат в центре сферы. Источник образует гармоническое поле звукового давления p(r, t) = p(r)exp(–iωt), где комплексная амплитуда p(r) удовлетворяет уравнению Гельмгольца p + k2p = 0, k = ω/c. (Давление и его комплексную амплитуду будем обо- значать одной буквой p .)

Возникает вопрос, какую систему координат выбрать для описа- ния звукового поля пульсирующей сферы. Очевидно, целесообразно использовать такие координаты, в которых поверхность сферическо- го источника звука была бы координатной поверхностью. Из этого сле- дует, что нужно выбрать сферические координаты (ρ, θ, ψ) (рис. 7.4). Понятно, что для данного источника, параметры звукового поля бу- дут зависеть лишь от расстояния r между началом координат и точ- кой наблюдения, и не будут зависеть от углов θ, ψ. Как следствие, частицы среды двигаются только в радиальном направлении.

Уравнение Гельмгольца p + k2p = 0 в сферических координатах имеет вид [31, 41, 52]:

Нужно определить такое решение уравнения (7.4), которое будет со- гласовано со следующими условиями:

1) граничное условие на поверхности сферы, которое определяет равенство скоростей частиц поверхности сферы и частиц среды на поверхности сферы:

Постоянная А определяется из граничного условия (7.5) на поверхно- сти сферы:

Из формул (7.8) и (7.9) видно, что амплитуда и давления, и колеба- тельной скорости уменьшаются с расстоянием r. Это объясняется тем, что при распространении сферической волны ее энергия распределя- ется между возрастающим числом частиц среды и соответственно уменьшается энергия каждой отдельной частицы. Давление умень- шается обратно пропорционально расстояния r, а скорость — по бо- лее сложному закону. Обсудим этот момент. Перепишем (7.9) в виде

Предположим, что волновой размер сферы довольно мал, т.е. ka << 1, тогда вокруг сферы можно выделить область, для которой будет вы- полняться неравенство kr << 1. Эту область вокруг излучателя назы-

вают ближней зоной (ближним полем излучателя). Очевидно, ско-

рость частиц в ближней зоне определяется первым слагаемым в

(7.11), т.е.:

Соответственно, вокруг сферы можно выделить область, для которой будет выполняться противоположное неравенство, а именно, kr >> 1.

Эту область называют дальней зоной (дальним полем излучателя).

Здесь колебательная скорость определяется вторым слагаемым в формуле (7.11):

Сравнивая формулу для давления (7.8) и для колебательной скоро- сти в дальней зоне (7.13), видим, что, как и для плоской волны, фазы давления p и скорости υr совпадают. Это означает, что звуковая энер- гия от движущихся частиц к неподвижным передается полностью, т.е. энергия частиц на поверхности сферы некоторого радиуса r пе- редается полностью частицам на сфере радиусом r + r. Понятно, что при этом плотность энергии будет уменьшаться, ведь увеличивается

423

Рис. 7.5. Графики зависимости удельного акустического сопротивления сферической волны от волнового расстояния kr :

Графики зависимостей модуля и аргумента ζ, его действительной и мнимой частей показаны на рис. 7.5. Из графиков следует, что при kr >> 1, т.е. в дальней зоне, волновые сопротивления плоской и сфери- ческой волн практически совпадают: мнимая часть стремится к нулю, а действительная — к величине ρс, угол сдвига фаз α между р и υr стремится к нулю. По этим параметрам свойства сферической волны приближаются к плоской. Что касается зависимости амплитуды вол- ны от расстояния, то обратно пропорциональная зависимость от r со- храняется на любом расстоянии, но, если рассматривать волну на не- большом участке распространения от r до r + r ( r << r), то измене- ние амплитуды будет довольно несущественным. В самом деле, отно- сительное изменение амплитуды волны

мало при условии r << r.

Итак, можно сделать вывод, что на достаточно большом расстоя- нии свойства сферической и плоской волн практически совпадают (в этом понимании сферическая волна переходит в локально-плоскую). С физической точки зрения это объясняется тем, что на больших расстояниях кривизна фронта волны уменьшается, что приближает характер движения частиц среды на каждом локальном участке сфе- рической волны к характеру движения частиц в плоской волне. Кро- ме того, на небольших отрезках распространения далеко от источни- ка относительное изменение площади фронта невелико, что обуслов- ливает приблизительное постоянство амплитуды.

425

7.3. Сопротивление излучения пульсирующей сферы

Для характеристики особенностей взаимодействия излуча- теля со средой вводят понятие сопротивления излучения Zи , которое

определяется как отношение силы реакции F со стороны среды на подвижную поверхность излучателя к скорости колебания частиц υ на поверхности излучателя S при ее гармоническом колебании (F и υ записывают в комплексной форме):

При этом предполагаем, что скорость всех частиц поверхности излу- чателя одинакова.

Если колебательная скорость на поверхности излучателя неодина- кова, то сопротивление излучения определяется выражением [61, с. 18]:

где υ0 — или усредненная по поверхности излучателя колебательная

скорость, или скорость некоторой выбранной точки поверхности из- лучателя (обычно берут максимальную амплитуду); звездочка означа- ет знак комплексного сопряжения. Понятно, что если колебательная скорость на поверхности излучателя одинакова, то формула (7.16а) упрощается и переходит в формулу (7.16).

Сопротивление излучения характеризует реакцию среды на ко- леблющуюся поверхность излучателя, поэтому его величина, оче- видно, будет зависеть как от упругих свойств среды, так и от типа излучаемой волны. Убедимся в этом на примере излучателей пло- ской и сферической волн. Излучателями являются: поршень в бес- конечной трубе с идеально жесткими стенками (рис. 5.1) и пульси- рующая сфера (рис. 7.3).

Поскольку давление р равномерно распределено по поверхности каждого излучателя, то F = pS, где S — площадь поверхности излуча- теля. Подставляя выражение для силы в (7.16), получаем

Но ζS — удельное акустическое сопротивление среды на поверхности

излучателя. Используя формулы для ζ в случае плоской и сферической волн, можно записать общее для обоих излучателей выражение:

426

Рис. 7.6. Зависимости коэффициентов Rи и Xи от волнового радиуса ka для пульсирующей сферы

Графики коэффициентов Rи и Xи для пульсирующей сферы в за-

висимости от волнового радиуса ka приведены на рис. 7.6. Анализи- руя (7.16)-(7.20), можно сделать следующие выводы.

1.Во всех случаях сопротивление излучения пропорционально волновому сопротивлению среды ρс.

2.Сопротивление излучения пропорционально площади излучате-

ля S.

3.Для излучателя плоской волны сопротивление излучения не за- висит от частоты, а для излучателя волн со сферическим фронтом (пульсирующая сфера) — существенным образом зависит от частоты:

действительная компонента Zи возрастает с увеличением ka, асим-

птотически приближаясь к величине ρс; зависимость мнимой компо- ненты имеет максимум, после которого Im Zи → 0. Сопротивление из-

лучения практически перестает изменяться, начиная с частоты, на которой волновой размер достигает определенной величины. При

427

этом свойства сферической волны приближаются к свойствам пло- ской волны.

Остановимся на физическом смысле действительной и мнимой компонент сопротивления излучения. При рассмотрении механиче- ской колебательной системы с одной степенью свободы было выясне- но, что наличие в комплексном механическом сопротивлении систе- мы действительной составляющей (наличие трения) приводит к дис- сипации (потере) энергии. Но процесс излучения есть не что иное, как перенос энергии от излучателя в среду, или потеря энергии излучате- лем за счет радиационного демпфирования. За этот процесс отвечает действительная составляющая сопротивления излучения (убедимся в этом ниже при вычислении мощности излучения пульсирующей сфе- ры).

Рассмотрим мнимую часть Zи . По аналогии с механической коле- бательной системой отметим, что знак “минус” при мнимой части Zи

указывает на ее инерционный (массовый) характер. Эта инерционная составляющая Zи возникает вследствие того, что вблизи пульсирую-

щей сферы слой частиц среды ведет себя как несжимаемая жид- кость, т.е. колеблется практически синфазно с поверхностью сферы, увеличивая тем самым массу излучателя. Для сферического источни- ка нетрудно вычислить эту добавленную или, как ее называют, при- соединенную массу. Сделаем некоторые преобразования в выраже- нии для ImZв, приняв во внимание, что k = ω/c, S = 4πa2:

где M0 = 3(4πa3/3)ρ — утроенная масса среды в объеме сферы; Mпр — присоединенная масса. Как видим, при малых волновых размерах сферы (ka << 1) Mпр ≈ М0. С увеличением волнового размера ka при- соединенная масса уменьшается и стремится к нулю при ka >> 1, что фактически означает зарождение звуковой волны непосредственно на поверхности сферы.

7.4. Энергетические характеристики пульсирующей сферы

Проведем энергетический анализ процесса излучения зву- ка пульсирующей сферой. В ходе анализа установим связь между энергетическими характеристиками и сопротивлением излучения ис- точника.

Мгновенный поток мощности с поверхности сферы определяется соотношением Wr(t) = RepReυr, где давление p и скорость частиц υr на

428

поверхности сферы записаны в комплексной форме. Поскольку p и υr связаны соотношением p/υr = ζ |S (ζ |S — удельное акустическое со- противление среды для сферической волны на поверхности излучате- ля), то формулу для Wr (t) запишем в виде

По условию υr = υ0 exp(–iωt), тогда имеем такое выражение для мгно- венного потока мощности:

Интенсивность, или средний поток мощности, определяется форму- лой

Используя (7.23), находим интенсивность звуковой волны вблизи по- верхности пульсирующей сферы:

Тогда полную мощность излучения сферы можно определить так:

В выражение (7.23) для мгновенного потока мощности равноправ- но входят как Re(ζ |S ), так и Im(ζ |S ). Ситуация изменяется, когда оп- ределяется средний за период поток мощности Ir. Как видим, Ir опреде- ляется первым слагаемым в выражении для Wr (t), которое пропорцио- нально Re(ζ |S ). Эту составляющую Wr (t) называют активной мощно- стью. Действительные части Re(ζ |S ), Re( Zи ) называют активными

частями удельного акустического сопротивления и сопротивления из- лучения, соответственно. Второе слагаемое в (7.23) соответствует так называемой реактивной мощности, которая на протяжении периода Т циркулирует: то поступая в среду от излучателя, то возвращаясь к излучателю из среды. Im(ζ |S ) и Im( Zи ) — называют реактивными час-

тями величин ζ и Zи .

Используя (7.23) и (7.25), определим отношение максимума реак- тивной мощности пульсирующей сферы радиуса а к интенсивности звука вблизи поверхности сферы:

429

Как видим, для малого излучателя (ka << 1) это отношение имеет большое значение. Отсюда следует, что мощность источника, кото- рый приводит излучатель в действие, должна равняться максимуму реактивной мощности - иначе излучатель не сможет работать. Таким образом, для излучателя малых волновых размеров источник работает практически в холостом режиме, и на акустическое излучение тра- тится только малая часть мощности источника.

Подводя итоги, еще раз отметим: согласно (7.11) колебательная скорость частиц в ближнем поле содержит в себе составляющую (первое слагаемое), никоим образом не связанную с волновым полем, т.е. это движение не приводит к переносу энергии в среде. Именно эта составляющая обусловливает наличие мнимой части удельного акустического сопротивления излучения. Итак, кроме чисто кинема- тической разницы движения частиц среды в ближнем и дальнем по- лях, существуют глубокие энергетические отличия. В дальнем поле пульсирующей сферы, где мнимая часть удельного акустического со- противления практически равна нулю, энергия, которой обладают подвижные частицы среды, полностью передается неподвижным частицам в процессе распространения волны, т.е. сферическая волна приобретает свойства плоской волны, у которой Imζ = 0 и реактивная мощность отсутствует. С энергетической точки зрения излучатель плоской волны является наилучшим. В ближнем поле пульсирующей сферы наличие присоединенной массы (как следствие первого сла- гаемого в выражении (7.11)), определяет реактивный поток мощности, который и направлен на перемещение присоединенной массы. С уве- личением волнового радиуса сферы ka зона ближнего поля уменьша- ется, а вместе с ней стремятся к нулю присоединенная масса и мни- мая часть сопротивления излучения. При ka >> 1 практически на по- верхности сферы рождается волновой процесс.

В завершении получим полезные соотношения для интенсивности сферической волны. Если на расстоянии r1 от источника имеем ин- тенсивность I1, а на расстоянии r2 — интенсивность I2, то, учитывая, что при отсутствии потерь в среде мощность сферической волны со-

храняется, получаем равенство 4πr12 I1 = 4πr22 I2 . Отсюда имеем такое

соотношение между интенсивностями сферической волны на разных расстояниях от источника: