Lab_12_IKB-95

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»

(СПбГУТ)

Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра Защищенных систем связи

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРТОРНОЙ РАБОТЕ №12

Индексы / Диофантовы уравнения

(тема отчета)

Направление/специальность подготовки

10.03.01 Информационная безопасность

(код и наименование направления/специальности)

Студенты:

(Ф.И.О., № группы) (подпись)

Преподаватель:

Кушнир Д.В.

(уч. степень, уч. звание, Ф.И.О.) (подпись)

Оглавление

Теория…………………………………………………………………………….3

Ход работы……………………………………………………………………….4

Теория

1. Символ Лежандра.

1. 

2. Алгоритм пошагового вычисления символа Лежандра:

2. Индексы.

Определение. Пусть числа a и b взаимно просты с n, т. е. НОД(a, n) = 1, НОД(b, n) = 1. Число s называется индексом b по модулю n и основанию a, если a^s ≡ b mod n.

Понятие индекса представляет собой аналогию понятия логарифма. (В дальнейшем часто будет использоваться понятие дискретный логарифм)

В общем случае определение значения индекса (или определения, что его не существует) является сложной задачей.

Один из способов решения – табличный.

3. Диофантовы уравнения первой степени.

• Диофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

a x + b y = c,

где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа.

Найти одно из решений диофантова уравнения с двумя неизвестными можно с помощью Расширенного алгоритма Евклида.

Пусть a и b неотрицательны. Расширенный алгоритм Евклида по заданным неотрицательным числам a и b находит их наибольший общий делитель g, а также такие коэффициенты x_g и y_g, что:

a * x_g + b * y_g = g.

Если c делится на g = НОД (a,b), то диофантово уравнение a*x + b*y = c имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет.

одним из решений диофантова уравнения являются числа:

x₀ = x_g * (c / g) y₀ = y_g * (c / g).

Ход работы

Задание 1

Вариант 5: x^2=3 mod 241

1. 3^120 (mod 241) = 1

2. a/p = (-1)^(120*1)(241/3) 241=3*q+r=3*80+1 241/3 = 1/3 = 1

Вывод: символ Лежандра равен единице, следовательно 3 – квадратичный вычет и уравнение имеет решения.

Задание 2 Вариант 5: а=3, p=23

3^0 = 1 mod 23 3^1 = 3 mod 23 3^2 = 9 mod 23 3^3 = 4 mod 23 3^4 = 12 mod 23 3^5 = 13 mod 23 3^6 = 16 mod 23 3^7 = 2 mod 23 3^8 = 6 mod 23 3^9 = 18 mod 23 3^10 = 8 mod 23 3^11 = 1 mod 23

Таблица индексов

Красный цвет – нет решений

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
Ind3(n)	0	7	1	3		8		10	2			4	5			6		9

Задание 3

Вариант 5: а=13, b=23, c=37 13x + 23y = 37 23 = 13*1 + 10 13 = 10 + 3 10 = 3*3 + 1 3 = 3*1 1 = 10 – 3*3 = 10 – (13 – 10)*3 = (23-13) – ( 13 – (23-13)*3) = 4*23 + 13*(-7) x0 = uc = -7*37 = -259 y0 = vc = 4*37 = 148 x = -259 – 23*t y= 148 +13*t При t = -11 x = -6 y = 5

Санкт-Петербург

2021