МОЗИ_Лаб_04_(Расширенный_алгоритм_Эвклида)

Лабораторная/практика №4.

Расширенный алгоритм Эвклида

Кроме вычисления d=НОД(a,b), алгоритм Эвклида позволяет дополнительно определить два целых числа α и β, таких что:

α * a + β * b = d; (соотношение Безу)

α и β – коэффициенты Безу.

Замечание, «почти всегда» если α положительна, то β отрицательно и наоборот.

Эти два числа можно вычислять одновременно с выполнением шагов в алгоритме Эвклида по следующей схеме:

Ручной метод «прямой»:

Рассмотрим шаги получения НОД (24;15):

24 = 15 * 1 + 9

15 = 9 * 1 + 6

9 = 6 * 1 + 3

6 = 3 * 2 + 0

Добавим для каждого шага представление «текущего» остатка как линейной комбинации исходных чисел a и b:

9=24+(-1)*15

6=15-9=15-(24-15)=2*15+(-1)*24

3=9-6=24+(-1)*15-[2*15+(-1)*24]=2*24+(-3)*15; т.е. α=2; β=-3.

Алгоритм в общем виде: Найти: НОД(a,b) a =b *q₁ + r₁ и r₁ = α * x₁ + β * y₁ b =r₁ *q₂ + r₂ и r₂ = α * x₂ + β * y₂ ………………………………

r_n-3=r_n-2 *q_n-1 +r_n-1 и r_n-1= α * x_n-1 + β * y_n-1 //на этом шаге получаем α,β r_n-2=r_n-1 *q_n r_n=0 Ответ: НОД(a,b)=r_n-1 //ответ – последний ненулевой остаток.

Представим это в виде таблицы:

остатки	частные	x	y
a	*	x(-1)	y(-1)
b	*	x0	y0
r1	q1	x1	y1
r2	q2	X2	y2
rn-2	qn-2	xn-2	yn-2
rn-1	qn-1	xn-1	yn-1

Заметим, что в начале этой таблицы появились две дополнительные строчки.

Они нам помогут вычислить x₁ и y₁ :

x_(-1)=1, y_(-1)=0, x₀=0, y₀=1;

x_j=x_j-2-q_j*x_j-1; y_j=y_j-2-q_j*y_j-1; //Пояснение соотношений – см. лекции.

Пример расширенного алгоритма Эвклида для чисел 1234 и 54

остатки	частные	x	y
1234	*	1	0
54	*	0	1
46	22	1-22*0=1	0-22*1=-22
8	1	0-1*1=-1	1-1*(-22)=23
6	5	1-5*(-1)=6	-22-5*23=-137
2	1	-1-1*6=-7	23-1*(-137)=160
0	3	*	*

α = -7; β=160. Действительно: (-7)*1234+160*54=2.

Нахождение обратного элемента по модулю.

Определение. Обратным к числу a по модулю n называется такое число b (обычно обратное к a обозначают как a^-1), что: a*b = 1 mod n ( a * a^-1 = 1 mod n )

Рассмотрим выражение: a * х + n * y = 1 (это и есть соотношение Безу)

возьмём от обеих частей уравнения остаток по модулю n, то получим:

a * х = 1 mod n, х – и есть обратный элемент к a. Пример: m=11, a=3; 4*3+(-1)*11=1; 4*3=1 mod 11, т.е. a^-1 = 4.

Если получаете отрицательный ответ – переведите в положительный: через n-х.

Нахождение противоположного элемента по модулю.

Определение. Противоположным к числу a по модулю n называется такое число b, что: a+b = 0 mod n. b записывают в виде положительного числа.

Факультативное задание. Расширенный бинарный алгоритм Евклида* (факультативно, задание может быть пропущено, если же выполнено, то отметьте это в имени файла отчета – будет засчитано как «+» к зачёту по предмету).

Вход: Целые числа а, b; 0 < b ≤ а.

Выход: d = НОД(a, b); и такие целые числа х, у, что ах + by = d.

Алгоритм:

1. Положить g ← 1.

2. Пока оба числа а и b четные, выполнять а ← a/2, b ← b/2 , g ← 2g до получения хотя бы одного нечетного значения а или b.

3. Положить u ← a, v ← b, А ← 1, В ← 0, С ← 0, D ← 1.

4. Пока u ≠ 0, выполнять следующие действия:

   1. Пока u четное, положить u ← u/2. Если оба числа А и B четные, то положить A ← A/2, B ← B/2. В противном случае положить A ← (A+b)/2, B ← (B–a)/2

   2. Пока v четное, положить v ← v/2.

Если оба числа С и D четные, то положить С ← C/2, D ← D/2. В противном случае положить C ← (C + b)/2, D ← (D – a)/2

3. При u ≥ v положить u ← u – v, А ← А – С, В ← В – D. В противном случае положить v ← v – u, C ← C–A, D ← D – B.

1. Если u=0, то

   1. Положить d ← gv, x ← С, у ← D.

   2. Результат: d, х, у.

Другой вариант описания расширенного бинарного алгоритма Евклида:

Задание.

Необходимо выбрать свой вариант (варианты) (вариант определяется номером студента в списке группы, если в бригаде несколько человек, то необходимо выполнить соответствующее число соответствующих вариантов).

1. Выполнить «вручную» расширенный алгоритмом Эвклида (возможно использование результатов выполнения предыдущей работы).

20 = 12 * 1 + 8

12 = 8 * 1 + 4

8 = 4 * 2 + 0

НОД = 4

8 = 20 + (-1) * 12

4 = 12 – 8 = 12 – (20 - 12) = 2 * 12 + (-1) * 20

A = 2

B = -1

88 = 26 * 3 + 10

26 = 10 * 2 + 6

10 = 6 * 1 + 4

6 = 4 * 1 + 2

4 = 2 * 2 + 0

НОД = 2

10 = 88 + (-1) * 26 * 3

6 = 26 – 10 * 2 = 26 – ((88 – 26 * 3) * 2) = 6 * 26 + (-4) * 88

4 = 10 – 6 = 10 – (88 – 26 * 3

2. Выполнить вычисление расширенного алгоритма Эвклида в среде Excel или в любой другой программной среде, которая позволяет выводить промежуточные шаги выполнения алгоритма.

3. Найти обратный элемент по модулю,.

Номер	Параметры для выполнения расширенного алгоритма Эвклида (для «ручного» выполнения)		Параметры для выполнения расширенного алгоритма Эвклида (для «программного» выполнения)
	a	b	a	b
1	22	28	558412	282494
2	44	20	830468	417526
3	26	44	1111492	564422
4	20	12	1509212	759518
5	34	20	1903996	956402
6	18	52	2380844	3643674
7	22	56	2830444	4298262
8	44	40	3429796	5212254
9	26	88	3941396	5949114
10	20	24	1125851	1129913
11	34	40	1307491	1316503
12	18	52	1500329	1520081
13	22	28	1678583	1689179
14	44	20	1927231	1933033
15	26	44	1081012	545222
16	20	12	1542844	775042
17	34	20	2123276	1070242
18	18	52	2687396	1353074
19	22	56	851189	854779
20	44	40	1025977	1030187
21	26	88	3239732	4877454
22	20	24	3198268	4859598
23	34	40	2264828	4261494
24	18	52	2861708	3438222
25	22	28	2992324	4900326

Номер	Параметры для нахожденя обратного элемента к “a” по модулю “n”
	a	n
1	11	19
2	5	19
3	4	23
4	3	23
5	11	23
6	2	23
7	3	29
8	4	29
9	5	29
10	6	29
11	7	31
12	8	31
13	9	31
14	10	31
15	11	31
16	12	19
17	13	19
18	14	19
19	15	17
20	16	17
21	2	17
22	3	17
23	4	17
24	5	17
25	6	19

Отчет.

Содержание отчёта:

1. Стандартный титульный лист.

2. Теория по исследуемому вопросу (достаточно использовать материалы задания самой лабораторной работы).

3. Формулировка задание на вычисления.

4. Шаги выполнения вычисления.

5. Проверку правильности найденных решений, если применимо (для расширенного алгоритма Эвклида проверить правильность нахождения коэффициентов Безу).

При выполнении заданий с помощью программирования в какой-либо среде – приводить программный код или указывать используемые формулы в соответствующей среде (например, формулы в ячейках Excel) и приводить вывод всех промежуточных шагов алгоритма. По программному коду в средах отличных от Excel возможны дополнительные вопросы с предложением внести изменения в порядок вычисления отдельных переменных или способ вывода промежуточных результатов.

Файл с отчётом должен иметь название по следующему шаблону: Лаб_(номер лабы(две цифры))_(номер группы)_ФамилияИО1_ФамилияИО2_ФамилияИО3. Пример: Лаб_01_ИКБ-82_Иванов_ДИ_Петров_ЕН.