10.9. Продольные колебания стержня

Перейдем теперь к изучению колебаний упругих систем с непрерывно распределенной массой, т.е. к системам с бесконечным числом степеней свободы. Простейшим примером такой системы является однородный стержень (рис. 10.22), в котором возбуждены продольные колебания, нап-

ример, ударом по его концу.

Пусть плотность материала. Тогда масса элемента стержня длиной dz равна:

(10.85)

Осевое перемещение сечения:

является функцией двух аргументов – координаты произвольного сечения z и времени t.

Рис. 10.22

Используя принцип Даламбера, напишем уравнение движения элемента стержня:

206

или, с учётом (10.85),

(10.86)

Поскольку

(10.87)

то, исключив с помощью (10.87) из (10.86) усилие N, находим уравнение:

(10.88)

где

(10.89)

Уравнение (10.88) называется волновым уравнением. Оно описывает динамические процессы в стержне, такие как распространение волн и колебания. Величина С называется скоростью распространения упругой волны. Для стали С = 4900 м/с, для алюминия С = 5100 м/с.

Решение уравнения (10.88) ищем в виде:

(10.90)

Подставляя (10.90) в (10.88), получим:

(10.91)

или, после разделения переменных:

откуда для функций T(t), Z(z) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения:

(10.92)

(10.93)

Общий интеграл уравнения (10.92):

(10.94)

откуда видно, что это круговая частота свободных колебаний.

Общий интеграл уравнения (10.93) имеет вид:

(10.95)

207

Постоянные с₁, с₂ находятся из граничных условий на концах стержня.

Пусть, например, стержень закреплен неподвижно на нижнем конце и свободен на верхнем (рис.10.23,а).

а) б)

Рис. 10.23

При Z = 0 имеем W = 0, следовательно, Z = 0, а при z =

Тогда получаем:

(10.96)

Если с₁ = 0, то колебания отсутствуют. Если то

и тогда:

(10.97)

Стержень имеет бесконечное множество частот собственных колебаний. Низшая частота или частота основного тона имеет место при

_{n = 1:}

(10.98)

Рассмотрим теперь колебания стержня, у которого один конец защем-

лён, а другой несет груз массы М (рис. 10.23,б). На закрепленном конце при _{Z = 0} по-прежнему имеем Z = 0, из (10.95) следует с₂ = 0.

На свободном конце с прикрепленной массой М на основании прин-

208

ципа Даламбера имеем:

(10.99)

или с учетом (10.40), (10.92):

(10.100)

Подставляя (10.95) при с₂ = 0 в граничное условие (10.100), находим:

(10.101)

Если с₁ = 0, никаких колебаний нет. Если то колебания есть. Для удовлетворения условия (10.102) следует приравнять нулю квадрат-

ную скобку. В результате находим:

(10.102)

где через обозначена масса стержня. Решение уравнения (10.102) можно найти графически (рис. 10.24). Для этого необходимо найти точки пересечения двух функций:

(10.103)

При малых частотах, когда малая величина, уравнение (10.102) упрощается:

(10.104)

откуда следует:

(10.105)

Этот результат соответствует задаче, когда массой стержня m можно пренебречь по сравнению с массой М_груза.

Рис. 10.24

209

Чтобы приближенно учесть массу стержня, удержим в разло-

жении в уравнении (10.102) два слагаемых:

Тогда получим:

откуда

(10.106)

При больших значениях гипербола проходит близко к оси абсцисс, а точка пересечения с тангенсоидой мало отличается от Следовательно,