Lektsia04_2013
.pdf
Диапазоны радиоволн Уравнения Максвелла Излучение электромагниных волн Распространение волн
Уравнения Максвелла
Второе уравнение Максвелла
Закон электромагнитной индукции Фарадея гласит, что при изменении потока
B магнитного поля ~ через контур в контуре возникает э.д.с. индукции Eind.
B
1 d B
Eind =
c dt
Э.д.с. возникает, и если поток B изменяется при перемещении или деформации контура, и если контур неподвижен, а поток B изменяется за счет изменения
магнитного поля ~ . (Экспериментальный факт!!!)
B
Однако закон Фарадея можно доказтаь только для случая, когда поле ~ не
B
изменяется во времени.
Максвелл предположил, что изменение магнитного поля вызывает появление вихревого электрического поля, и это поле приводит к появлению Eind.
rot E~ |
1 |
|
~ |
|
|
|
@B |
||||
= |
|
|
|
: |
|
c |
@t |
||||
Здесь полная производная по времени заменена частной, чтобы подчеркнуть
неподвижность контура, неизменность его пространственных координат. |
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Замечание: в электростатике rot |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
= 0 и |
||||
E = 0. Для переменных полей rot |
E |
||||||||||||||||||
поле E вихревое, не потенциальное. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
И. А. Насыров |
Физика волновых процессов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Диапазоны радиоволн Уравнения Максвелла Излучение электромагниных волн Распространение волн
Уравнения Максвелла
Третье уравнение Максвелла
B = 0
или в дифференциальной форме:
~
div B = 0
означает отсутствие магнитных зарядов.
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Диапазоны радиоволн Уравнения Максвелла Излучение электромагниных волн Распространение волн
Четвертое уравнение Максвелла
|
~ |
|
4 |
~ |
|
@ |
|
|
@ |
противоречит уравнению непрерывности |
|
Уравнение rot H |
= |
|
j |
||
|
|
|
c |
|
|
(div(j) + @t |
= 0, т. е. |
@t 6= 0). |
|||
И. А. Насыров Физика волновых процессов
|
|
|
Диапазоны радиоволн |
|
|
|
|
|
Уравнения Максвелла |
|
|
|
Излучение электромагниных волн |
|
|||
|
|
|
Распространение волн |
|
|
Четвертое уравнение Максвелла |
|||||
|
~ |
|
4 |
~ |
|
@ |
|
|
@ |
||
Уравнение rot H |
= |
|
j противоречит уравнению непрерывности |
||
|
|
|
c |
||
(div(j) + @t |
= 0, т. е. |
@t 6= 0). |
|||
Действительно. С одной стороны:
h i h i
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
div rot H = r; r; H = H; r; r = 0:
И. А. Насыров Физика волновых процессов
|
|
|
|
Диапазоны радиоволн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Уравнения Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Излучение электромагниных волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Распространение волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Четвертое уравнение Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
~ |
|
|
4 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
@ |
|
|
|
@ |
|
j противоречит уравнению непрерывности |
|
|
|
|
|
||||||||||
Уравнение rot |
H |
= |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(div(j) + @t = 0, т. е. |
|
6= 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
@t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Действительно. С одной стороны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
div rot H~ = r~ ; hr~ ; H~ i = H;~ hr~ ; r~ i = 0: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Сдругой стороны при |
|
@ |
6= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
@t |
|
|
|
4c @t! |
|
|
|
|
|
|||||||||||
div |
rot |
H~ |
|
|
= div 4c ~j! = 4c div |
~j = |
6= 0: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И. А. Насыров Физика волновых процессов
|
|
|
|
Диапазоны радиоволн |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Уравнения Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Излучение электромагниных волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Распространение волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Четвертое уравнение Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
~ |
|
|
4 |
~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение rot |
H |
= |
|
|
|
j противоречит уравнению непрерывности |
|
|||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(div(j) + @t = 0, т. е. |
|
@t 6= 0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Действительно. С одной стороны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
div rot H~ = r~ ; hr~ ; H~ i = H;~ hr~ ; r~ i = 0: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сдругой стороны при |
|
|
6= 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
@t |
|
4c div ~j = |
4c @t! |
|
|||||||||
div |
rot |
H~ |
|
|
= div 4c ~j! = |
6= 0: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ |
|
||||
Чтобы обобщить уравнение на случай |
@ |
6= 0 можно предположить, что |
||||||||||||
|
||||||||||||||
@t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
rot H~ |
= |
4 |
~j + X;~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
||||
где ~ необходимая поправка к уравнению магнитостатики.
X
И. А. Насыров Физика волновых процессов
Диапазоны радиоволн Уравнения Максвелла Излучение электромагниных волн Распространение волн
Четвертое уравнение Максвелла
Гипотеза Максвелла о токах смещения
~ 4 ~ ~ rot H = j + X
c
И. А. Насыров Физика волновых процессов
|
Диапазоны радиоволн |
|
|
|
|
|
|
Уравнения Максвелла |
|
|
|
|
|
Излучение электромагниных волн |
|
|
|
|
||
|
Распространение волн |
|
|
|
|
|
Четвертое уравнение Максвелла |
|
|
|
|
||
Гипотеза Максвелла о токах смещения |
|
|
|
|
||
|
|
rot H~ = 4c ~j + X~ |
|
|
|
|
0 = div rot |
H~ |
= div 4c ~j + X~ ! |
= 4c div |
~j |
+ div |
X~ |
|
|
|
|
|
|
|
И. А. Насыров Физика волновых процессов
|
Диапазоны радиоволн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнения Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Излучение электромагниных волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Распространение волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Четвертое уравнение Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Гипотеза Максвелла о токах смещения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
rot H~ = |
4 |
~j + X~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0 = div |
rot |
H~ |
= div |
4c ~j + X~ ! |
= 4c div |
~j |
+ div |
X~ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учтем, что div ~j |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
@t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 = |
4 |
|
@ |
X~ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
+ div |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
c |
@t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И. А. Насыров Физика волновых процессов
|
Диапазоны радиоволн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Уравнения Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Излучение электромагниных волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Распространение волн |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Четвертое уравнение Максвелла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Гипотеза Максвелла о токах смещения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
rot H~ = |
4 |
~j + X~ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
c |
|
|
|
|||||||||||
0 = div |
rot |
H~ |
= div |
4c ~j + X~ ! |
= 4c div |
~j |
+ div |
X~ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Учтем, что div ~j |
|
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
и получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
@t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
0 = |
4 |
|
@ |
X~ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
+ div |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
c |
@t |
|
|
|
||||||||||
Учтем теперь, что ~ и получим
4 = div D
|
|
@ |
~ |
|
X~ |
= div X~ c |
~ |
! |
|
|
0 = c |
|
div D |
+ div |
= 0 |
||||||
|
@t |
@t |
||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
@D |
|
|
|
И. А. Насыров Физика волновых процессов