Lektsia09_2013
.pdf
ФИЗИКА ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ
Лекция 9
Насыров Игорь Альбертович
доц. каф. р/электроники
Условия применимости геометрической оптики
Условие малости длины волны в среде по отношению к характерному масштабу изменения параметров волны и среды /L<<1 является необходимым, но недостаточным условием справедливости геометрооптического приближения.
1 dn 1. n2 ds
Возможности аналитически определить условие применимости метода и его погрешностей ограничены тем, что в задачах о распространении волн в неоднородных средах, не известно точное решение.
В монографии Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. – М.: Наука, 1980. – 305 с. предложены эвристические критерии применимости приближения геометрической оптики.
2
Условия применимости геометрической оптики
Представим, что точечный источник волн расположен в точке с радиус-вектором r1 a точка наблюдения в находится в точке с радиус-вектором r2. Эйконал (или оптический путь) вдоль луча r1r2 обозначим (r1r2) и будем считать его опорным лучом. Выберем точку r1’, лежащую возле опорного луча, и соединим точку r1’ с r1 и r2. Ломаный луч r1-r1’-r2 назовем виртуальным лучом.
Оптический путь вдоль виртуального луча равен
вирт r1r1 r1r2
Построим около опорного луча поверхность
вирт опорн с
2
В этом случае эйконал на опорном луче отличается от эйконала на виртуальном луче на половину длины волны (т.е. их фазы отличаются на ) . Эта поверхность представляет огибающую первых зон Френеля, нанизанных на опорный луч.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- уравнение поверхности |
||||
3 |
F r |
|
|
r1r |
|
r r2 |
r1r2 |
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Условия применимости геометрической оптики
Объем, ограниченный этой поверхностью, можно назвать Френелевским объемом. В частном случае плоской волны в однородной среде (т.е. когда n=const) радиус первой зоны Френеля равен:
af |
cz |
|
n |
||
|
Зонам более высокого порядка в уравнении для поверхности F(r')=0 отвечает разность хода m c/2, m=2,3, . Если свойства изменяются плавно, вследствие интерференции вторичные волны от высших зон Френеля взаимно погашаются, и результирующее поле определяется ближайшей окрестностью луча - его Френелевским объемом.
Таким образом становится очевидным различие между математическим лучом (это бесконечно тонкая линия) и физическим лучом, имеющим конечную толщину, определяемую Френелевским объемом.
Исходя из того, что Френелевский объем определяет область пространства, формирующего поле в заданной точке, можно сформулировать два критерия
4 применимости метода геометрической оптики.
Критерии применимости геометрической оптики
1.Параметры среды и волны (амплитуда и градиент фазы) не должны заметно изменяться в поперечном сечении Френелевского объема.
2.Френелевские объемы лучей, приходящих в одну и ту же точку, не должны существенно пересекаться друг с другом.
5
Критерии применимости геометрической оптики
Согласно критерию 1 должны выполняться условия:
а) для амплитуды волны A:af |
|
A |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
где af – максимальное |
||
A |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сечение Френелевского |
|||
б) для компонент импульса p : af |
|
p |
|
1 |
объема, l(l )- |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
оператор |
||||||||||||
p |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дифференцирования в |
|||||
в) для показателя преломления n: af |
|
n |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
направлении, |
|||||||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
ортогональном лучу. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Критерий 2 означает, что общая часть Френелевских объемов лучей Vf приходящих в данную точку наблюдения, должна быть значительно меньше каждого из Френелевских объемов Vf. Критерий 2 позволяет избежать двукратного учета вклада одних и тех же вторичных волн в результирующее поле.
6
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Анизотропными называют среды, физические свойства которых зависят от направления. Анизотропная среда называется однородной, если зависимость ее свойств от направления в различных точках одинакова. В общем случае в таких средах вектор напряженности электрического Е и магнитного Н полей и векторы электрической D и магнитной В индукций не параллельны,- т.к. связаны между собой диэлектрической и магнитной проницаемостями, являющимися тензорными величинами. Анизотропия может быть связана со структурой среды (к примеру, в кристаллах), либо создаваться наложением внешних полей.
Влияние анизотропных свойств среды на распространение электромагнитной волны определяется материальными уравнениями
D E, |
B H |
7
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ
Для гармонических во времени полей эти уравнения принимают вид
D ,r |
i, j |
( )E |
,r , B ,r |
i, j |
( )H |
,r . |
i |
j |
i |
j |
|
Как правило, свойства среды таковы, что тензором является одна из величин: ( ) или ( ), другую можно считать скалярной величиной. Если тензором является диэлектрическая проницаемость а -скаляр, то такая среда называется гироэлектрической. Примером может служить плазма в постоянном магнитном поле. Если тензором является магнитная проницаемость , -скаляр, то среда называется гиромагнитной. Примером может служить феррит, помещенный в постоянное магнитное поле.
Для определенности мы ниже будем рассматривать гироэлектрическую среду. В этом случае материальное уравнение принимает вид:
Di ,r i, jEj ,r , Bi ,r ( )Hj ,r .
8
Общие свойства распространения электромагнитных волн в анизотропных средах
Рассмотрим анизотропную среду, описываемую материальными
уравнениями: |
|
B H |
|
D E, |
Будем интересоваться распространением плоских монохроматических волн, т.е. будем считать, что электрический и магнитный векторы определяются выражениями:
E E0e i( t k r)
, H H0e i( t k r).
Уравнения Максвелла запишем в виде:
|
|
|
1 |
|
|
D |
|
|
|
||
rot H |
|
|
, |
div D 0, |
|||||||
c |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
H |
|
|
|
|||||
rot E |
|
|
|
, |
div H |
0. |
|||||
c |
|
||||||||||
9 |
|
|
t |
|
|
||||||
Общие свойства распространения электромагнитных волн в анизотропных средах
Преобразуем уравнения Максвелла, используя выражения для плоских монохроматических волн. Проиллюстрируем это на примере уравнения циркуляции
электрического поля: |
|
E |
|
|
|
|
Ey |
|
|
E |
|
|
E |
|
|
|
Ey |
|
|
|
E |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
z |
|
|
|
x |
|
z |
|
|
|
x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
rot E i |
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
x |
|
|
x |
y |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
E |
|
E |
|
|
|
|
E |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
||||
x |
expi t K r , |
|
y |
0y |
expi t K r , E |
z |
0z |
expi t K r , |
||||||||||||||||||||||
|
0x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K r Kxx Ky y Kzz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i, j, h - орты осей x, y, z координатной системы, в которой решается задача.
|
Ex |
|
|
Для примера: |
E0x iKx ei( t K r) iKx Ez |
||
x |
|||
|
|
Аналогично получаются производные от остальных проекций вектора Е на оси координат уравнения (а). Теперь уравнение (а) перепишется в виде:
rot E i i KxEz KzEy j KzEx
10 Производная по времени |
H |
H |
0(i )e |
|
|||
|
t |
|
|
KxEz h KxEy KyEx i KE (б)
i( t K r) H(i ) (в)