Пример выполнения задачи 15

Условие. Известно, что случайная величина имеет распределение Пуассона, неизвестным является параметр. Используя метод максимального правдоподобия, найти по реализации выборкизначение оценкинеизвестного параметра, если

Решение. Составим функцию правдоподобия в виде

.

Получим

или , где.

Найдем параметр , такой, что функцияпринимала бы наибольшее значение. Для этого решим уравнение.

.

, если .

Получим или.

Очевидно, что . Поэтому в качестве оценки неизвестного параметрапримем.

Ответ. .

Пример выполнения задачи 16

Условие. Известно, что случайная величина имеет биномиальное распределение, неизвестным является параметр. Используя метод моментов, найти по реализации выборкизначение оценкинеизвестного параметра.

Решение. Найдем значение оценки из уравнения.

Учитывая, что случайная величина имеет биномиальное распределение, получим . В качестве, возьмем среднее арифметическое значений выборки, т. е..

Решим уравнение .

Ответ. .

Пример выполнения задачи 17

Условие. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестным математическим ожиданиеми известной дисперсией. По выборке объемавычислено выборочное среднее. Определить доверительный интервал для неизвестного параметра распределения, отвечающий заданной доверительной вероятности.

Решение. Так как известна дисперсия случайной величины, то доверительный интервал для неизвестного математического ожидания определяется неравенством , где значенияивычисляем с помощьюMathCAD по формулам:

, .

Получим

, .

Таким образом, доверительный интервал имеет вид: .

Ответ. .

Пример выполнения задачи 18

Условие. Случайная величина имеет нормальное распределение с неизвестными математическим ожиданием и дисперсией. По данной выборке найти доверительный интервал для математического ожидания, отвечающий доверительной вероятности, если

	20	25	30	39	42	45	48
	8	10	20	31	14	6	5

Решение. По данной выборке вычислим объем выборки , выборочную среднююи исправленную дисперсию. Получим

,

,

.

Так, как среднее квадратическое отклонение неизвестно, то доверительный интервал определяем из неравенства , где

, .

Параметр находим, используя системуMathCAD: .

Получим:

, .

Доверительный интервал принимает вид: .

Ответ. .

Пример выполнения задачи 19

Условие. В результате опытов получена несмещенная оценкадля дисперсии нормальной случайной величины. Найти доверительный интервал для дисперсии при доверительной вероятности.

Решение. Доверительный интервал для дисперсии случайной величины определяем из неравенства , где

, .

Значения инаходим с помощьюMathCAD по формулам:

, .

Получим ,.

Тогда ,.

Доверительный интервал имеет вид: .

Ответ. .