- •Задачи по теории вероятностей и математической статистике
- •Содержание
- •Введение
- •Раздел 1. Теория вероятностей Комбинаторные формулы
- •Классическое определение вероятности
- •Теоремы алгебры событий
- •Свойства функции распределения
- •Свойства математического ожидания
- •Непрерывная случайная величина и её характеристики
- •Законы распределения случайных величин
- •Предельные теоремы теории вероятностей
- •Предельные формулы для схемы Бернулли
- •Раздел 2. Математическая статистика Обработка результатов опытов
- •Точечные оценки неизвестных параметров и методы их получения
- •Интервальные оценки неизвестных параметров
- •Проверка статистических гипотез
- •Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов
- •Ошибки прямых и косвенных измерений
- •Задания для самостоятельной работы студентов
- •Пример выполнения заданий самостоятельной работы студентов Пример выполнения задачи 1
- •Пример выполнения задачи 2
- •Пример выполнения задачи 3
- •Пример выполнения задачи 4
- •Пример выполнения задачи 5
- •Пример выполнения задачи 6
- •Пример выполнения задачи 11
- •Пример выполнения задачи 12
- •Пример выполнения задачи 13
- •Пример выполнения задачи 14
- •Пример выполнения задачи 15
- •Пример выполнения задачи 16
- •Пример выполнения задачи 17
- •Пример выполнения задачи 18
- •Пример выполнения задачи 19
- •Пример выполнения задачи 20
- •Пример выполнения задачи 21
- •Пример выполнения задачи 22
- •Пример выполнения задачи 23
- •Пример выполнения задачи 24
- •Пример выполнения задачи 25
- •Литература
Пример выполнения задачи 6
Условие. Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 13 билетов. Найти наивероятнейшее число выигрышных билетов и соответствующую вероятность.
Решение. Наивероятнейшее число выигрышных билетов определим из неравенств
, где .
Тогда .
Следовательно, наивероятнейшее число выигрышных билетов равно .
Вероятность того, что среди 13 купленных билетов ровно 4 выигрышных определим по формуле Бернулли
.
Ответ. 0,23.
Пример выполнения задачи 7
Условие. При вытачивании гаек наблюдается в среднем 5% брака. Найти вероятность того, что в партии из 250 гаек ровно 230 гаек окажутся не бракованными.
Решение. Вероятность брака равна , тогда вероятность того, что гайка окажется не бракованной, равна. По локальной теореме Лапласа имеем
, где и.
Таким образом, получаем , значение функциивычислим в системеMathCAD. То есть: .
Тогда искомая вероятность равна .
Ответ. .
Пример выполнения задачи 8
Условие. Вероятность наступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,75. Определить вероятность того, что число наступлений события удовлетворяет следующему неравенству
Решение. По интегральной теореме Лапласа имеем
, где .
По условию задачи .
Тогда
, .
Используя MathCAD, получим:
.
Ответ. .
Пример выполнения задачи 9
Условие. Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна 0,0012. Поступило 2000 вызовов. Определить вероятность 3 «сбоев».
Решение. Так как число вызовов велико, а вероятность сбоя очень мало, то воспользуемся формулой Пуассона: , где.
По условию имеем . Тогда получим
.
Ответ. 0,21.
Пример выполнения задачи 10
Условие. Найти функцию распределения ДСВ , математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение этой случайной величины и вероятность попадания в интервал, если случайная величина задана законом распределения
-
X
10
11
12
18
P
0,4
0,3
0,2
0,1
Решение. Функция распределения определяется формулой .
Если , то;
если , то;
если , то;
если , то;
если , то.
Получим
Вычислим математическое ожидание
.
Дисперсия равна
.
Найдем среднее квадратическое отклонение
.
Вероятность попадания в заданный интервал определяется формулой
.
Пример выполнения задачи 11
Условие. Дана плотность распределения случайной величины . Найти параметр, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения случайной величины, вероятность попадания в интервал, если
Решение. По свойству плотности распределения вероятностей, имеем
.
Тогда плотность распределения принимает вид
Функция распределения определяется формулой .
Если , то.
Если , то.
Если , то.
Получим
Вычислим математическое ожидание
.
Дисперсия случайной величины равна
.
Найдем вероятность попадания случайной величины в заданный интервал
.