Непрерывная случайная величина и её характеристики

Случайная величина называется непрерывной, если на числовой прямой существует интервал, который целиком принадлежит множеству значений этой случайной величины.

Если функция распределения случайной величины представима для каждого в виде ,

то функция , , называется плотностью распределения вероятностей случайной величины .

Свойства плотности распределения вероятности

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если непрерывна в точке .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется по формуле .

Законы распределения случайных величин

1. Биномиальное распределение. Пусть - случайная величина, равная числу появлений события в серии из независимых повторных испытаний, где вероятность появления события равна . Тогда величина имеет биномиальное распределение с параметрами и , а вероятности определяются формулой Бернулли (это дискретная случайная величина): .

Математическое ожидание и дисперсия определяются формулами:

.

2. Распределение Пуассона. (это дискретная случайная величина) Случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром , если

Математическое ожидание и дисперсия равны .

3. Равномерное распределение. (это непрерывная случайная величина) Плотность равномерного распределения при имеет вид:

Математическое ожидание и дисперсия определяются формулами:

.

4. Нормальное распределение. (это непрерывная случайная величина) Плотность нормального распределения с параметрами и имеет вид: .

Математическое ожидание и дисперсия равны:

соответственно.

Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел. Если проводится независимых одинаковых случайных экспериментов, в каждом из которых может наступить или не наступить событие , то частота появления этого события будет стремиться к вероятности этого события.

Предельные формулы для схемы Бернулли

Приближённая формула Пуассона:

.

Формула применяется при больших и маленьких .

Формулы Муавра-Лапласа: Локальная

;

Интегральная

Центральная предельная теорема. Закон распределения суммы достаточно большого числа независимых случайных величин (при соблюдении некоторых нежёстких ограничений) сколь угодно близок к нормальному закону.

Раздел 2. Математическая статистика Обработка результатов опытов

Выборкой объёма , отвечающей случайной величине с функцией распределения , называется набор независимых случайных величин , каждая из которых имеет распределение .

Количество одинаковых значений величин в выборке называют частотой элемента выборки и обозначают .

Эмпирической функцией распределения, построенной по выборке , называется функция

.

Полигоном, построенным по выборке, называют ломаную с узлами .

Гистограмма. Для построения гистограммы числовую ось разбивают на полуинтервалы. Вычисляют значения оценок вероятностей попадания случайной величины на полученные полуинтервалы, как разность значений эмпирической функции распределения на краях полуинтервала. Затем над каждым полуинтервалом строится прямоугольник, площадь которого пропорциональна вычисленной оценке вероятности. Сумма площадей всех таких прямоугольников равна 1.