Пример выполнения заданий самостоятельной работы студентов Пример выполнения задачи 1

Условие. Из группы, состоящей из 7 мужчин и 4 женщин, надо выбрать 6 человек так, чтобы среди них было не менее 2 женщин. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Группа из 6 человек может состоять из 2-х женщин и 4-х мужчин, или из 3-х женщин и 3-х мужчин, или из 4-х женщин и 2-х мужчин.

Пусть – число групп, состоящих из 2-х женщин и 4-х мужчин;

–число групп, состоящих из 3-х женщин и 3-х мужчин;

–число групп, состоящих из 4-х женщин и 2-х мужчин.

Тогда ,

,

.

Общее число групп равно: .

Ответ. 371.

Пример выполнения задачи 2

Условие. Среди 9 лотерейных билетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 3 билетов. Определить вероятность того, что среди них 2 выигрышных.

Решение. Событие А – среди 3-х взятых билетов 2 выигрышных. Вероятность этого события находим по формуле классической вероятности: , где

, .

Тогда .

Ответ. 0,54.

Пример выполнения задачи 3

Условие. Две точки независимо друг от друга наудачу выбираются на отрезке [0;1]. Найти вероятность того, что координата одной точки более чем в двое меньше координаты другой точки.

Решение. При бесконечном числе равновозможных элементарных исходов, представленных точками области на плоскости, вероятность события равна отношению площади множества элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к площади всего множества элементарных исходов.

Пусть и– координаты первой и второй точек, выбранных на [0;1];– множество всех элементарных исходов;– множество элементарных исходов, благоприятствующих нашему событию. При этом; .

Рис. 3

Тогда , где, а. На рисунке 3 изображены площади соответствующих фигур.

Получим .

Ответ. 0,5.

Пример выполнения задачи 4

Условие. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком, равна 0,28, вторым – 0,56. Первый сделал 3, второй – 2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Решение. Цель не поражена, если 1-й стрелок сделал 3 промаха, а 2-й – 2 промаха. Вероятность промаха при одном выстреле для 1-го стрелка равна , для 2-го –.

Тогда вероятность того, что цель не поражена равна .

Ответ. 0,072.

Пример выполнения задачи 5

Условие. В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет % изделий (i=1, 2, 3). Среди изделий i-го завода % первосортных. Куплено одно изделие.

а) Найти вероятность того, что купленное изделие – первосортное.

б) Купленное изделие оказалось первосортным. Определить вероятность того, что это изделие выпущено j-м заводом.

Если

Решение. а) Событие А – куплено первосортное изделие может наступить только при выполнении одного из событий

–купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе,

–купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе,

–купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.

Тогда искомую вероятность находим по формуле полной вероятности:

, где

, ,, а,,.

Получим: .

б) Событие А уже наступило. Выполним пересчет вероятности события , при условии наступления событияА. По формуле Байеса имеем

.

Ответ. а) 0,85; б) 0,74.