Точечные оценки неизвестных параметров и методы их получения

Оценка математического ожидания

по выборке .

Оценка дисперсии

Метод максимального правдоподобия

Пусть заданная выборка случайной величины , имеющей плотность распределения , где - неизвестный параметрический вектор. Функция

называется функцией правдоподобия. Оценкой параметрического вектора , полученной методом максимального правдоподобия называют решение задачи

.

Метод моментов

Оценкой параметрического вектора , полученной методом моментов называют решение системы

где

Интервальные оценки неизвестных параметров

Интервал называется доверительным интервалом для оценки параметра , отвечающим доверительной вероятности , если

.

Доверительный интервал для математического ожидания

1. Доверительный интервал для оценки математического ожидания с известной дисперсией , где границы находятся с использованием MathCAD по формулам , .

2. Доверительный интервал для оценки математического ожидания с неизвестной дисперсией , где границы находятся по формулам , , , параметр находится с использованием MathCAD по формуле .

Доверительный интервал для дисперсии

1. Доверительный интервал для оценки дисперсии с известным математическим ожиданием , где границы находятся по формулам , , а коэффициенты находятся с использованием MathCAD по формулам , .

2. Доверительный интервал для оценки дисперсии с неизвестным математическим ожиданием , где границы находятся по формулам , , а коэффициенты находятся с использованием MathCAD по формулам , .

Проверка статистических гипотез

Критерий

Проверить гипотезу о том, что заданная функция является функцией распределения случайной величины по выборке с заданным уровнем значимости .

Уровень значимости это вероятность отвергнуть правильную гипотезу.

Схема проверки гипотезы по критерию

1. Определить по формулам значение , где - частота элемента в выборке, - количество неповторяющихся элементов выборки, - вероятность появления числа , вычисленная по функции распределения .

2. Определить с использованием MathCAD значение .

3. Сделать вывод по правилу:

если , то гипотеза подтверждается;

если , то гипотеза отвергается.

Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов

Пусть задана выборка двумерной случайной величины Необходимо определить неизвестные значения параметров функциональной зависимости , на основании выборки.

Согласно метода наименьших квадратов значения неизвестных параметров будем искать, как решение задачи:

,

которая сводится к решению системы: .

Если зависимость между переменными линейная , то параметры находятся по формулам:

,

где , , , , .

Ошибки прямых и косвенных измерений

Под прямыми измерениями понимают измерения, полученные непосредственно с помощью прибора.

Под косвенными измерениями понимают результаты, полученные на основе расчёта с использованием прямых измерений.

Если - точное значение измеряемой величины , то , где - ошибка измерения.

Если при заданной доверительной вероятности справедливо , где - параметр, зависящий от распределения ошибки и принятой величины доверительной вероятности , - среднеквадратическая ошибка измерения, то величина называется абсолютной ошибкой измерения.

Величина называется относительной ошибкой измерения.

Если величины полученные прямыми измерениями, то величина получена косвенным измерением.

Справедливы формулы:

, ,

где – ковариация величин .