Классическое определение вероятности

Множество всех взаимно исключающих результатов эксперимента называется пространством элементарных событий и обозначается .

Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием.

Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти в результате эксперимента.

Событие, которое обязательно является результатом эксперимента называется достоверным и обозначается .

Событие, которое никогда не будет результатом эксперимента называется невозможным и обозначается .

Классическое определение вероятности: вероятностью события называют отношение числа благоприятных к числу всех возможных исходов эксперимента и обозначают .

Теоремы алгебры событий

Суммой двух событий и (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в , либо в .

Произведением двух событий и (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих как в , так и в .

Противоположным для события (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, не входящих в .

События и называются несовместными, если в результате опыта не могут наступить одновременно.

События и называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло другое или нет.

Вероятность события при условии, что произошло событие , называется условной вероятностьюи обозначается .

Основные теоремы

1. ;

2. ;

3. ;

4. , если ;

5. , если и независимы;

6. ;

7. , если и независимы;

8. .

Формула полной вероятности и формула Байеса

Набор событий называется полной группой событий, если они попарно несовместны и их сумма составляет достоверное событие:

.

Теорема 1 (формула полной вероятности). Пусть - полная группа. Тогда для любого события .

Теорема 2 (формула Байеса). Пусть даны - полная группа и некоторое событие. Тогда для любого условная вероятность события при условии, что событие произошло, задаётся формулой .

Дискретная случайная величина и её характеристики

Функция , заданная на пространстве элементарных событий , называется случайной величиной.

Случайная величина называется дискретной, если пространство элементарных событий не более чем счётно. Будем обозначать . Значение случайной величины наступает с некоторой вероятностью .

Соответствие, которое каждому значению дискретной случайной величины сопоставляет его вероятность , называется законом распределения случайной величины . При этом . Закон распределения удобно задавать в виде таблицы:

			…
			…

Функция , , называется функцией распределения случайной величины .

Для дискретных случайных величин .

Свойства функции распределения

1. ;

2. .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют число .

Свойства математического ожидания

1. , если - постоянная;

2. , если - постоянна;

3. ;

4. , если и независимы.

Дисперсией случайной величины называют число

.

Свойства дисперсии

1. ;

2. , если - постоянна;

3. , если - постоянна;

4. , если и независимы.

Средним квадратическим отклонением случайной величины называют число .