Пример выполнения задачи 20

Условие. По данной выборке признака найти выборочную среднюю, исправленную дисперсию и моду. Построить полигон (гистограмму) частот, если

	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19	19-22
	4	8	12	35	14	12	8

Решение. Для расчета выборочной средней, исправленной дисперсии и моды преобразуем интервальный вариационный ряд в дискретный. Для этого заменим интервал на его среднее значение.

Получим

	2,5	5,5	8,5	11,5	14,5	17,5	20,5
	4	8	12	35	14	12	8

Находим выборочную среднюю: ,

.

Исправленная дисперсия равна:

.

Мода равна значению варианты, имеющей наибольшую частоту, т. е..

Построим гистограмму частот: .

Заполним таблицу

	1-4	4-7	7-10	10-13	13-16	16-19	19-22
	4	8	12	35	14	12	8
	4/3	8/3	4	35/3	14/3	4	8/3

Гистограмма изображена на рисунке 6.

Рис. 6

Ответ. ,,, рисунок 6.

Пример выполнения задачи 21

Условие. На плоскости даны 6 точек, координаты которых занесены в таблицу. Пусть случайная величина – абсцисса точек, а случайная величина– ордината. Найти коэффициент линейной корреляции. Написать уравнения линейной регрессиинаина, если

	0,4	1,2	1,8	2,5	2,9	3,2
	-0,1	-1,1	-1,9	-2,9	-3,3	-3,7

Решение. Коэффициент линейной корреляции определяется формулой:

,

где ,,,

, .

Получим .

Напишем уравнения линейной регрессии

на :,

получим или.

на :,

получим или.

Ответ. ,,.

Пример выполнения задачи 22

Условие. На плоскости даны 5 точек, координаты которых занесены в таблицу. Найти функциональную зависимость , используя метод наименьших квадратов, если

	-2,3	-1,7	-0,5	0,7	1,5
	5,8	3,9	0,3	-3,2	-6,0

Решение. Будем искать функциональную зависимость в виде , где параметрыинаходим из системы

Вычислим ,,,,.

Решаем систему

Параметры равны: ,.

Тогда функциональная зависимость имеет вид: .

Ответ. .

Пример выполнения задачи 23

Условие. В итоге проверки получено эмпирическое распределение. Случайная величина принимает значения 0, 1, 2, 3 и 4 с соответствующими частотами. Требуется при уровне значимостипроверить по критериюгипотезу о том, что случайная величинараспределена по закону Пуассона.

Решение. Критерий определяется по формуле

,

где ,, а в качестве параметравозьмем выборочное среднее.

Получим: ,.

Находим значения :

,

,

,

,

.

Полученные результаты занесем в таблицу

	0	1	2	3	4
	137	100	45	15	4
	128,304	107,811	45,114	12,771	2,673

Вычислим .

Найдем , используя системуMathCAD, где – число степеней свободы, определяемое по формуле:.

–число вариант; – число параметров, рассчитанных по выборке.

Получим: .

Тогда .

Сравним и. Т.к. 2,203 < 11,345, то<, и, следовательно, нет оснований отвергать гипотезу о том, что случайная величинараспределена по закону Пуассона.

Ответ. Гипотезу принимаем.