Bilety_integraly (1) / 1_14

№14

Интегрирование периодических функций. Интегрирование четных и нечетных функций

Теореиа. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [0,T] периодическая функция с периодом  T:

f(x + T) = f(x).

(1)

Тогда интеграл

(2)

не зависит от λ. В частности,

(3)

Доказательство 1. Представим рассматриваемый интеграл в виде суммы трех интегралов:

(4)

Вычислим производную по λ от выражения в правой части этого равенства:

(5)

Таким образом,

(6)

что и требовалось доказать. 

Теореиа 1. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a,a] четная функция:

f(–x) = f(x).

(1)

Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:

(2)

Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

(3)

Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку  x = – st:

(4)

Утверждение доказано.  Теореиа 2. Пусть  f(x)  – интегрируемая на промежутке [-a,a] нечетная функция: 

f(–x) = – f(x).

(5)

Тогда интеграл от  f(x)  в симметричных пределах равен нулю:

(6)

Теорема доказывается аналогичным образом: