Bilety_integraly (1) / 1_10

№10

Необходимое условие интегрируемости. Достаточное условие интегрируемости. Критерий интегрируемости.

Условия интегрируемости

 

Необходимое условие интегрируемости. Теорема. Если функция интегрируема на отрезке, то она ограничена на нем.  Доказательство. (от противного) Интегрируемая на [a,b] функция f не ограничена и зафиксируем некоторое разбиение τ={xi}i=ki=0. В силу неограниченности f на [a,b] она будет по крайней мере неограниченной на одном отрезке разбиения τ, например, на [x0,x1], тогда на этом отрезке существует последовательность ξ1n∈[x0,x1],n=1,∞ такая, что limn→∞ξ1n=∞,limn→∞f(ξ1n)=∞(1.1). Зафиксируем точки ξi∈[xi−1,xi],i=2,k, тогда сумма ∑ki=2f(ξi)Δxiбудет иметь вполне определенное значение, поэтому в силу (1.1):limn→∞στ(f,ξ,1...,ξ)k=limn→∞(f(ξ1n)Δx1+∑ki=2f(ξi)Δxi)=∞ и значит каково бы ни было М>0 всегда можно подобрать номер n0, что если на первом отрезке [x0,x1] взять точку ξ1n0получим: ∣ ∣  στ(f,ξ1n0,ξ2,...,ξk)∣ ∣  >M, => суммыστ не могут стремиться к конечному пределу при мелкости разбиения δτ=∣τ∣→0. Действительно, если бы существовал конечный предел lim∣τ∣→0στ=A, то для любого ε>0 нашлось бы такое δ(ε)>0, что для разбиения τ={xi}i=ki=0 отрезка [a,b] мелкости ∣τ∣<δ(ε) при любом выборе точек ξi∈[xi−1,xi],i=1,k,∣στ−A∣<ε и =>∣στ∣=∣(στ−A)+A∣≤∣στ−A∣+∣A∣<ε+∣A∣. В случае  неограниченности функции f для любого разбиения τ (в т.ч. и для такого, что∣τ∣<δ(ε)) при  любом фиксированном ε>0 можно так выбрать ξi, что выполняется неравенство ∣στ∣>∣A∣+ε. Это противоречие доказывает теорему. Ч.и.т.д. Условие ограниченности функции f необходимое, но НЕ является достаточным. Например, для функции Дирихле: D(x) на [0,1]. Она ограничена, но не интегрируема, т.к. для любого разбиения интегрируемые суммы στ стремятся к 1 если выбрать ξi  рациональными, и к 0 если иррациональными, то есть не стремятся ни к какому пределу.

Суммы Дарбу и их свойства.

Функция y=f(x) определена на [a,b] и τ={xi}i=ki=0 некоторое его разбиение, Δxi=xi−x,i−1i=1,k.Sτ=Sτ(f)=∑ki=1MiΔxi=∑ki=1supf(x)xi−1<x<xi - верхняя сумма Дарбу, sτ=sτ(f)=∑ki=1miΔxi=∑ki=1inff(x)xi−1<x<xi- нижняя сумма Дарбу. Очевидно sτ≤Sτ.  Свойства: 1. Если к имеющимся точкам разбиения отрезка [a,b] на промежутки добавить новые точки, то нижняя сумма Дарбу от этого может разве лишь возрасти, а верхняя сумма -- уменьшается. Т.е. если τ′-измельчение разбиения τ, то Sτ′≤Sτ, sτ′≥sτ. 2. Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждую из верхних сумм, даже отвечающих другому разбиению промежутка. 3. Суммы Римана и Дарбу связаны соотношением sτ≤στ≤Sτ.  4. Sτ−sτ=∑ki=1ωi(f)Δxi, где ωi(f)=supf(ξi)−inff(ξi)- колебание функции на [xi−1,xi]. I*=supτsτ− нижний интеграл Дарбу функции f на [a,b], I*=infSττ-  верхний интеграл Дарбу. Множество {sτ} нижних сумм Дарбу ограничено сверху хотя бы одной из верхних сумм Дарбу тогда оно имеет I*=supτsτ причем I*≤Sτ. Множество верхних сумм Дарбу {sτ}ограничено снизу, поэтому существует I*=infSττ, причем I*≤I*. Т.о. sτ≤I*≤I*≤Sτ.

Необходимое и достаточное условие интегрируемости.

Теорема. Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция была интегрируема на нем необходимо и достаточно, чтобы lim∣τ∣→0(Sτ−sτ)=0 (2.1).  Это условие означает, для любого ε>0 существует δ(ε)>0, что для любого разбиения τ мелкости меньше, чем δ выполняется неравенство: ∣Sτ−sτ∣<ε (2.2). Т.к. sτ≤Sτ, то из (2.2) следует Sτ−sτ<ε. Доказательство.  Необходимость. Пусть некоторая ограниченная на [a,b] функция f интегрируема на нем и I=∫baf(x)dxт.е.lim∣τ∣→0στ=I. Поэтому для любого ε>0 существует δ(ε)>0, что для  любого разбиения τ мелкости ∣τ∣<δ справедливо неравенство: ∣στ−I∣<ε или  I−ε<στ<I+ε, отсюда при ∣τ∣<δ по третьему свойству сумм Дарбу получено неравенство:  I−ε<sτ≤Sτ<I+ε(2.3). Если ∣τ∣<δ, то 0≤Sτ−sτ≤2ε, что  равносильно выполнению условия (2.2).  Достаточность. Пусть f ограничена и выполняется условие (2.1). Из определения нижнего и верхнего интеграла Дарбу и в силу свойства I*≤I*(свойство 4) им: sτ≤I*≤I*≤Sτ. Поэтому 0≤I*−I*≤Sτ−sτ, отсюда в силу (2.1) I*−I*=0. Обозначим общее значение интегралов Дарбу I*=I*=I, из (2.3) получим:sτ≤I≤Sτ и поэт. 0≤I−sτ≤Sτ−sτи 0≤Sτ−I≤Sτ−sτ. В силу (2.1): lim∣τ∣→0(I−sτ)=lim∣τ∣→0(Sτ−I)=0, значитlim∣τ∣→0sτ=lim∣τ∣→0Sτ=I, но в силу свойства 3 sτ≤στ≤Sτ (2.4), тогда по теореме о пределе промежуточной функции lim∣τ∣→0στ=I, что и означает интегрируемость функции f. Ч.и т.д.

 

Следствия.  1. Если f интегрируема, то не только ее интегральные суммы Римана, но и ее интегральные суммы Дарбу стремятся к ее интегралу при стремлении мелкости  разбиения к 0. 2. Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция f была интегрируема на нем необходимо и достаточно lim∣τ∣→0∑ki=1ωi(f)Δxi=0, где ωi(f) колебание функциии на [xi−1,xi] разбиения τ={xi}i=ki=0 отрезка[a,b] (это следует из 4 свойства сумм Дарбу).

 

Интегрируемость непрерывной функции.  Теорема. Если f(x) непрерывна на [a,b]f(x)∈C[a,b], то она интегрируема на нем. Доказательство. Пусть f(x)∈C[a,b]. Тогда она ограничена на [a,b] (теорема Вейерштрасса) и равномерно непрерывна на нем (теорема Кантора). Зафиксируемε>0, в силу равномерной непрерывности существуетδ>0, что для любого ξ∈[a,b], η∈[a,b] таких, что ∣η−ξ∣<δ, выполняется неравенство:∣f(η)−f(ξ)∣<εb−a (3.1). Возьмем τ, такое что ∣τ∣<δ. Непрерывная на отрезке функция по 2й теореме Вейерштрасса достигает на нем своей верхней и нижней граней, поэтому существуют точки ξi∈[xi,xi+1],ηi∈[xi,xi+1],что f(ξi)=mi, f(ηi)=Mi. Точки ξi и ηi принадлежат одному и тому же отрезку разбиения, поэтому ∣ ∣  ηi−ξi∣ ∣  ≤Δxi≤∣τ∣<δ.  Тогда в силу (3.1) получаем f(ηi)−f(ξi)=∣ ∣  f(ηi)−f(ξi)∣ ∣  <εb−a,i=0,k.  Следовательно, для любого τ, такого, что ∣τ∣<δ выполняется условие0≤S−s=∑ki=1(Mi−mi)Δxi=∑ki=1(f(ηi)−f(ξi))Δxi<εb−a∑ki=1Δxi= =εb−a(b−a)=ε. Полученное и означает, что lim∣τ∣→0(S−s)=0, значит по  теореме необходимого и достаточного условия интегрируемости функция интегрируема на [a,b]. Ч. и т.д.

Теорема. Функция определенная и монотонная на [a,b] интегрируема на нем.

Теорема. Если функция ограничена и непрерывна на отрезке, кроме, может быть, конечного числа точек, то она интегрируема на нем.