Bilety_integraly (1) / 1_18

№18

Признаки сходимости интегралов от знакопостоянных функций

Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.

1.) Признак сравнения 1. Пусть для членов рядов  (а) и  (b) выполняется неравенство  0 £ un £ vn , тогда из сходимости ряда (b) следует сходимость ряда  (a) и из расходимости ряда (a) следует расходимость ряда (b). Т.е., если ряд с большими членами сходится, то ряд с меньшими членами тем более будет сходится и наоборот.

Док-во. Частичные суммы ряда (а) - sn и ряда (b) – Sn связаны неравенством 0£sn £ Sn и условием сходимости ряда (b) Sn < S. Это устанавливает верхний конечный предел на sn : 0 £ sn £ Sn < S , т.е. ряд (а) сходится.

Пр. Определить сходимость ряда  . Введем второй ряд  . Это геометрическая прогрессия с q = 1/5. Она сходится. Из сравнения членов un = 1/n5n <vn = 1/5n следует сходимость исходного ряда.

 Признак сравнения 2. Если предел отношения общих членов двух разных рядов не 0 или ¥, то сходимость обоих рядов совпадает:   при n ® ¥ . В этом случае un , vn бесконечно малые величины одного порядка. Векторная функция скалярного аргумента Если каждому значению параметра tиз некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

 2.) Признак Даламбера.  Если предел отношения последующего члена ряда ( 1 ) к предыдущему меньше 1 , то ряд сходится, если больше 1, то ряд расходится

Если  , то при l < 1 сход., при l > 1 расход., при l = 1 – сомнительный случай

Док-во. Отношения (un + 1 / un ) образуют вспомогательную числовую последовательность, которая может сходится или расходится. Необходимое условие сходимости : Для всякого e > 0 существует такое N , что при n > N выполняется неравенство l - e < un + 1 / un < l + e , т.е. с ростом n  член последовательности оказывается в сколь угодно малой e - окрестности точки  l .

Пусть l < 1, e мало и q = l + e < 1 , тогда из условия uN + 1 / uN < q следует uN+1 <quN, uN+2 <q uN+1 < q2uN , uN+3 < q3uN , . . . В результате получаем две числовые последовательности : uN , uN+1 , uN+2 , . . . и uN , q uN , q2 uN, q3 uN . . . связанные неравенством uN+n < uN qn.  Строим из них ряды. Т.к. ряд с большими членами (геометрическая прогрессия, q < 1) сходится, то ряд с меньшими членами  также сходится по признаку сравнения и по свойству 10 сходится исходный ряд   . При l > 1 аналогичным образом получаем обратный результат.

3.) Интегральный признак Коши. Cумма членов бесконечной числовой последовательности un = f(n) сходится, если сходится несобственный интеграл  и расходится при расходимости интеграла.

Док-во.  Ряд f(1) + f(2) + f(3) + . . . можно понимать как площадь ступенчатой фигуры, построенной вдоль кривой y=f(x), а интеграл как площадь криволинейной трапеции y = f(x) Если площадь криволинейной трапеции ограничена, то и площадь ступенчатой фигуры будет ограничена, и сумма ряда будет иметь конечное значение.

Пр. Обобщенный гармонический ряд  . Вычислим интеграл J =   При a = 1 J = ln x |1¥ = ¥ , при a ¹ 1 J = x1 - a /(1-a) |1¥ Отсюда следует, что при a > 1 обобщенный гармонический ряд сходится, а при a   1 расходится. 

Знакочередующиеся числовые ряды.

Опр. Знакочередующимся наз. числовой ряд вида  , un > 0 ( 3 )

Признак Лейбница. Если члены ряда ( 3 ) последовательно убывают ( un > un+1 ) и стремятся к 0 ( lim un = 0 при n ® ¥ ), то ряд сходится, причем, его сумма S > 0 и S < u1.

Док-во. Члены частичной суммы S2m сгруппируем двумя способами :

S2m = (u1 – u2) + (u3 – u4) + . . . +(u2m-1 – u2m) ( a )

S2m = u1 – (u2 – u3) – (u4 – u5) - . . . – (u2m-2 – u2m-1) – u2m ( b )

При способе  ( а ) имеем сумму положительных членов S2m > 0. При способе (b) имеем разность между u1 и суммой (m – 1) положительного слагаемого. Из этого следует, что S2m всегда ограничена S2m < u1 , а последовательность ограниченных S2m имеет предел, т.е. ряд сходится. От S2m+1 легко перейти к S2m , выделив лишний член.

Метод Симпсона Далее рассмотрим наиболее часто применяемую на практике формулу Симпсона, которую еще называют правилом "три восьмых". Геометрическая интерпретация метода Симпсона Соотношение также показывает, что формула Симпсона является точной для полиномов второй степени