17.Уравнение Бернулли для идеальной жидкости.

Левую часть уравнения Эйлера можно представить в виде:

Аналогично ∂Uy⁄∂t и ∂Uz⁄∂t. При движении в поле силы тяжести x=0, y=0, z=-g.

Получим:

У множим левые и правые части уравнений на dx, dy,dz:

Сложим последние уравнения, считая, что dx/dt, dy/dt, dz/dt – проекции скорости U на оси:

(1)

Слагаемые левой части могут быть представлены как:

U – скорость.

Сумма членов, стоящих в скобках в правой части уравнения (1) представляет собой полный дифференциал давления:

Разделим обе части уравнения на ускорение свободного падения g, и перенеся все его члены в левую часть получим:

Для несжимаемой однородной жидкости, Р= const, сумма дифференциалов может быть заменена дифференциалом суммы:

О тсюда получим уравнение Бернулли:

- Н – гидродинамический напор.

Формулировка уравнения Бернулли: для всех поперечных сечений установившегося потока идеальной жидкости гидродинамический напор остается неизменным.

Гидродинамический напор включает в себя:

- z – нивелирная высота, наз. геометрическим (высотным) напором, представляет собой удельную потенциальную энергию положения в данной точке.

- Р/ρg – напор давления или пьезометрический напор, характеризует удельную потенциальную энергию давления

- (z+P/ρg) – гидростатический (статический) напор, выражает полную удельную потенциальную энергию

- U²/2g – скоростной (динамический напор), характеризует удельную кинетическую энергию.

Уравнение Бернулли явл. частным случаем закона сохранения энергии и выражает энергетический баланс потока.

Пусть для точек, лежащих на оси трубопровода в сечениях 1-1 и 2-2, нивелирные высоты равны z₁ и z₂. Установим в каждой из этих точек две верт. пьезометрические трубки, у одной из кот. нижний конец загнут навстречу потоку ж.

В прямых верт. трубках ж. поднимается на высоту, отвечающую

гидростатическому давлению в точках их погружения, т.е. эти трубки будут измерять пьезометрический напор. В трубках с нижними концами, направленными навстречу потоку, уровень ж. будет выше, чем в соседних трубках, т.к. эти трубки будут показывать сумму пьезометрического и динамического напоров. Площадь поперечного сечения 2-2 меньше сечения

1 -1. Поэтому скорость жидкости U₂ согласно уравнению неразрывности будет больше U₁. В любом сечении трубопровода скоростной напор можно измерить по разности показаний установленных трубок. Следовательно, эта разность должна быть больше для 2-2, чем для 1-1. Но из уравнения Бернулли следует, что высота уровня ж. в прямой трубке в 2-2 должна быть меньше соот. высоты в прямой трубке в 1-1 на столько же, насколько скоростной напор в 2-2 больше,, чем в 1-1. (закон сохранения и превращения энергии).

18.Геометрический и энергетический смысл членов уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости.

П ри движении реальных жидкостей начинают действовать силы внутреннего трения, обусловленные вязкостью жидкости и режимом ее движения, а также силы трения о стенки трубы. Эти силы оказывают сопротивление движению жидкости. На преодоление возникающего гидравлического сопротивления должна расходоваться некоторая часть энергии потока. Поэтому общее количество энергии потока по длине трубопровода будет непрерывно уменьшаться вследствие перехода потенциальной энергии в потерянную энергию, затрачиваемую на трение и безвозвратно теряемую при рассеивании тепла в окружающую среду. Для соблюдения баланса энергии, при движении реальной жидкости, в правую часть уравнения Бернулли должен быть введен член, выражающий потерянный напор. Тогда уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной жидкости будет иметь вид

h_п – потери напора на трение. Этот потерянный напор характеризует удельную энергию, расходуемую на преодоление гидравлического сопротивления при движении реальной ж.

Поток реальной жидкости, ограниченный стенками, имеет неравномерное распределе­ние скоростей по сечению и потери энергии (напора) вдоль потока. Не­равномерность распределения скоростей по сечению движущейся вяз­кой жидкости объясняется торможением потока вдоль стенок из-за действия сил молекулярного сцепления между жидкостью и стенкой. Использование для расчета удельной кинетической энергии средней по сечению скорости приводит к ошибке, которая может быть скор­ректирована введением поправочного коэффициента α (коэффициента Кориолиса). При турбулентном течении в круглой трубе α = 1,05... 1,15, при ламинарном α =2.

Σh_п – суммарные потери на участке 1-2.

После умножения членов на ρg получим

Е_п = ρgΣh_п – потери удельной энергии.

Все уравнения наз. Уравнением баланса удельных энергий реального потока с учетом потерь. Все члены имеют то же геом. И энергетический смысл, что и уравнение Бернулли для элементарной струйки реальной ж. Из уравнения следует, что удельная энергия Е_п, затраченная на преодоление сил трения, равна изменению полной удельной энергии потока на том же участке.

19.Коэффициент Кориолиса α (коэффициент кинетической энергии) представляет собой отношение действительной удельной кинетической энергии потока к энергии, подсчитанной по средней скорости: