Metod (2529)

ВВЕДЕНИЕ

Студенты-заочники специальностей «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные машины и оборудование» и «Строительство железных дорог» (ускоренное обучение) изучают дисциплину «Теоретическая механика» во 2-м и 3-м семестрах.

Во 2-м семестре изучается «Статика твердого тела» и «Кинематика точки и тела», выполняются и защищаются контрольные работы № 1 и № 2. Итоговый контроль — экзамен.

В3-м семестре изучается «Динамика материальной точки и механической системы», выполняется и защищается контрольная работа № 3. Итоговый контроль — экзамен.

Выбор заданий контрольных работ производится с помощью таблицы по двум последним цифрам учебного шифра: задачи № 1 и

№3 выбираются по последней цифре шифра, а задача № 2 — по предпоследней цифре.

Встолбцах таблицы указаны номера задач соответствующих заданий в сборнике задач по теоретической механике И.В. Мещерского 1981 г. выпуска (в скобках указаны номера этих же задач в сборниках более ранних изданий). Задачи С-3, С-4, К-4, Д-10 студент выбирает из методических указаний по выполнению контрольных работ студентами-заочниками под редакцией С.М. Тарга 1989 г. выпуска.

Номер рисунка в задачах С-3, С-4, К-4, Д-10 выбирается по предпоследней цифре шифра, а номер строки с данными к задаче определяется по соответствующим таблицам, которые приводятся в текстах задач, — по последней.

3

Таблица выбора вариантов заданий контрольных работ

4

1. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ, ВХОДЯЩИХ В КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 1

Задача № 1 посвящена определению реакций опор твердого тела, находящегося в равновесии под действием произвольной плоской системы сил.

Пример 1.1. Определить реакцию заделки угольника АВС в стену (рис. 1.1).

Решение. Рассмотрим равновесие угольника АВС. Изобразим его в свободном состоянии, т.е. покажем действующие на него силы P

и Q , пару сил с моментом М и реакции связи X A , YA , M A . Так как

угольник находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, то уравнения равновесия угольника запишем в виде:

Fx 0; Fy 0; mAAF 0 .

5

Из (1) ХА P cos60 2 12 1 Н.

Из (2) YA Q Psin 60 6 2 0,866 7,73 Н.

Здесь Q q 2 3 2 6 кН.

Из (3) M A Q 1 M Psin 60 6 Ðcos60 2 20,38 Нм.

Проверка.

Подставляя в уравнение (4) найденные ХА, YA, МА, получаем:

20,38 7,73 6 2 6 5 2 0 ; 0 0 .

Значит, задача решена верно.

Ответ: X A 1 Í ; YA 7,73 Í ; M A 20,38 Í ì .

Пример 1.2. Определить реакцию шарнира А и вес груза Р, удерживающего балку АВ в равновесии (рис. 1.2).

Рис. 1.2

6

Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ. В свободном

состоянии на нее действуют силы F; P; Q , пара сил с моментом

М = 40 Нм, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q = 2 Н/м и реакция шарнирно-неподвижной опоры А, которую

заменяем силами X A и YA . Равномерно распределенную нагрузку заменим сосредоточенной силой Q q 2 4 Í . Так как балка

АВ находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил, то запишем ее уравнения равновесия в виде:

Fx 0; Fy 0; mAF 0 .

Оси координат выберем, как показано на чертеже.

Из (3) получаем:

X A F cos 45 Pcos60 2 0,707 3,3 0,5 3,06 Í .

Из (2) имеем:

YA F sin 45 Q Psin 60 2 0,707 4 3,3 0,866 8, 27 Í .

Проверка.

mÑ F 0 : YA 2 Ì Q 3 Ðsin 60 4 0 ,

( 8, 27 2) 40 4 3 3,3 0,866 4 0 ,

0,01 0 0 .

Задача решена верно.

Ответ: P = 3,3 Н; ХА = – 3,06 Н; YA = – 8,27 H.

7

Задача № 2 посвящена определению положения центра тяжести однородной плоской фигуры.

Пример 1.3. Определить координаты õÑ и óÑ центра тяжести однородной пластины (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Решение. Применим метод разбиения. Разобьем фигуру на прямоугольник (1) и полукруг (2). Так как пластина симметрична относительно оси О1О2, то хС = 2 м.

где площадь прямоугольника S1 = 4 2 8 м2; площадь полукруга

Ответ: хС = 2 м; yÑ 1,81 м.

8

Рис. 1.4

Решение. Применим метод отрицательных площадей. Дополним фигуру треугольником KEF, считая его площадь отрицательной.

Тогда

где

x1 4 ì ; ó1 2 ì ; S1 32 ì 2 ; x2 2 23 ÊÅ 2 23 2 3 13 ì ;

ó2 13 3 1 ì ; S2 12 2 3 3 ì 2 . Ответ: õÑ 4,069 ì ; yÑ 2,103 ì .

9

10

Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила Q и реакции N2 , N4 , N5 , N6 , стержней. Составим уравнения равновесия:

При определении проекций силы N5 на оси х и у в уравнени-

N2 345 H , найдем значения N 4, N 5, N 6.

Ответ: N 1 = 349 H, N 2 = –345 H, N 3 = 141 H, N 4 = 50 H, N5 = = 329 H, N 6 = –66 H. Знак «минус» показывает, что стержни 2 и

6 сжаты, остальные — растянуты.

Задача С4 посвящена определению реакций опор тела, находящегося в равновесии под действием произвольной пространственной системы сил.

Пример 1.6. Горизонтальная прямоугольная однородная плита весом Р закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим шарниром (или подшипником) в точке В и невесомым стержнем DD (рис. 1.6). На плиту в плоскости, параллельной xz, действует сила F , а в плоскости, параллельной zy, — пара сил с моментом M.

Определить реакции опор А и В и стержня DD , если Р = 3 кН,

F = 8 кН, М = 4 кНм, = 60 , АС = 0,8 м, АВ = 1,2 м, ВЕ = 0,4 м, ЕН = 0,4 м.

Решение. Рассмотрим равновесие плиты. В свободном состоя-

нии на плиту действуют заданные силы P , F и пара сил с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира

разложим на три составляющие: X A , YA , ZA , — а цилиндрического (подшипника) — на две составляющие: X B , ZB (в плоскости, пер-

11

пендикулярной оси подшипника); реакцию N стержня направляем вдоль стержня от D к D1, предполагая, что он растянут.

Для определения шести неизвестных реакций составляем шесть уравнений равновесия действующей на плиту пространственной системы сил:

12