Metod (2529)

Решение. Рассмотрим движение точки В как сложное, считая ее движение по прямой AD относительным, а вращение пластины — переносным. Тогда абсолютная скорость и абсолютное ускорение найдутся по формулам:

где, в свою очередь, aî òí aî òí , так как относительное движение

прямолинейное, и aînòí 0 ; aï åð aï åð aïnåð .

Определим модули всех входящих в равенства (1) и (2) векторов.

1. Относительное движение. Уравнение относительного движения

s AB 2 15t 3t 2 .

Поэтому

В момент времени t1 = 2 c имеем:

положительного отсчета АВ, а вектор aî òí — в противоположную

сторону. Изображаем все эти векторы на рис. 2.4.

2. Переносное движение. Уравнение переносного движения

пер = (0,1t3 – 2,2t) рад.

Найдем угловую скорость ï åð и угловое ускорение пер переносного вращения:

23

Знаки ï åð è ï åð указывают, что в момент t1 = 2 c направление дуги ï åð совпадает с направлением положительного отсчета углаï åð , а направление дуги ï åð ему противоположно. Отметим это

на рис. 2.4 соответствующими дуговыми стрелками. Из рисунка находим расстояние h1 точки В1 от оси вращения z:

h1 = AB1 sin30 = 10 см.

Тогда в момент t1 = 2 c, учитывая равенства (4), получим:

лярную оси вращения, и затем эту проекцию повернем на 90° в соответствии с ï åð , т.е. по ходу часовой стрелки. Получим

направление вектора àêî ð : он направлен перпендикулярно плос-

24

5. Определение абсолютного ускорения аабс.

Так как составляющие вектора абсолютного ускорения не расположены в одной плоскости, то выберем прямоугольную пространственную систему координат В1, х, у, z и спроецируем на эти оси равенство

Определить равнодействующую R сил, действующих на эту точку в момент времени t1 = 1 c.

Решение. Движение точки задано координатным способом (рис. 3.1).

Запишем дифференциальные уравнения движения точки: m x Rx ; m y Ry ,

25

где m — масса точки, x и y — проекции вектора ускорения a

на оси координат, Rx и Ry — проекции равнодействующей сил, действующих на точку, на эти же оси.

Очевидно:

Траекторией движения точки является окружность, описанная уравнением:

х2 + у2 = 32,

действующих на эту точку.

движения задана (рис. 3.2).

Запишем дифференциальные уравнения движения точки в естественной форме:

26

II закон Ньютона:

(2) — дифференциальное уравнение движения вагона во время торможения. Проинтегрируем его дважды:

Определим постоянные интегрирования С1 и С2 из начальных условий: t0 0 ; x0 0 ; x0 0 . Подставляя начальные условия в

(3) и (4), получим C1 0 ; C2 0 . Тогда

Найдем время, за которое скорость вагона уменьшится в 2 раза.

Ответ: s = 60 м.

Задача № 3 на применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы к исследованию движения различных механизмов.

28

Пример 3.4. Механическая система, состоящая из двух однородных дисков 2 и 3 и груза 1, связанных между собой нерастяжимой нитью, приводится в движение из состояния покоя.

Определить скорость груза 1, когда он пройдет путь s1 = 0,2 м, если заданы массы: m1 ; m2 0,5m1 ; m3 0,2m1 . Коэффициент

трения f груза о шероховатую наклонную поверхность равен 0,1 (рис. 3.4).

Решение. Запишем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в интегральной форме:

где Т0 — кинетическая энергия механической системы в начальный момент времени, а Т — в момент времени, когда груз 1 переместится на s1; Ae + i — работа внешних (е) и внутренних (i) сил механической системы на совокупности перемещений ее элементов (1, 2, 3).

Так как механическая система в начальный момент времени была в покое, то Т0 = 0. Вычислим

Т = Т1 + Т2 + Т3,

где Т1, Т2, Т3 — кинетическая энергия груза и дисков соответственно.

29

где Jz — момент инерции однородного диска 2 относительно оси z, проходящей через точку О2 перпендикулярно плоскости диска,2 — угловая скорость вращения диска:

как всякое плоское движение есть сумма его поступательного движения вместе с полюсом С3 и вращательного движения вокруг оси zO3 , проходящей через полюс перпендикулярно плоскости диска.

Работа внутренних сил (сил взаимодействия между элементами системы) равна нулю, т.е. Ai = 0.

30

N1, N3 , перпендикулярны перемещениям точек их приложения,

а силы N2 , P2 , XO2 , YO2 приложены к неподвижным точкам.

= (m1 0,5 m1 0,1 0,866 0,2m1 0,866)gS1

(0,5 0,66 0,173)m1gS1 4,1m1 .

Подставляя Т и Ae i в равенство (1), получим:

Ответ: 1 2, 46 м/с.

Пример 3.5. Механическая система (рис. 3.5) состоит из обмотанных нитями блока 1 радиуса R1 и ступенчатого шкива 2 (радиусы ступеней R2 и r2, радиус инерции шкива относительно оси вращения ρ2), а также из грузов 3 и 4, прикрепленных к этим нитям. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и пары сил с моментом М, приложенных к блоку 1.

Определить ускорение а3 груза 3, пренебрегая трением, если

дано: P1 = 0, Р2 = 30 Н, Р3 = 40 Н, Р4 = 20 Н, М = 16 Н∙м, R1 = 0,2 м,

R2 = 0,3 м, r2 = 0,15 м, ρ2 = 0,2 м.

Решение. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, 4, соединенных нитями. Система имеет одну степень свободы. Связи, наложенные на эту систему, — идеальные.

31

Р3 а3

600

Рис. 3.5

Для определения ускорения а3 груза 3 применим общее уравнение динамики:

Изображаем на чертеже активные силы P2 , P3 , P4 и пару сил с моментом М. Задавшись направлением ускорения a3 , показыва-

Сообщим системе возможное перемещение и составим общее уравнение динамики (1):

Подставляя величины (2) и (4) в уравнение (3), приведем его к виду

32