Вопрос 13!

Аналогичным образом формулируется понятие предела функции  при. ЧислоAназываетсяпределом функциипри, если для любого произвольно малого числа  ε > 0  существует такое число  ∆(ε), что для всехx, удовлетворяющих условию

(13)

выполняется неравенство

(14)

      Функция  имеет своим пределом бесконечность при, если для любого сколь угодно большого числаE> 0  существует такое число  ∆(E), что для всехx, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Такой предел обозначается выражением вида

      Отметим, что следует соблюдать определенную осторожность при обращении с символом  ∞. Порой решающее значение на результат оказывает знак бесконечности. Например,

тогда как

Вопрос 14! Односторонние пределы

  Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0 ) (δ = δ (ε) > 0 ) (x₀ - δ < x < x₀) : | f (x) – A | < ε.

  Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:

( ε > 0 ) (δ = δ (ε) > 0 ) (x₀< x < x₀+ δ) : | f (x) – В | < ε

   Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как

и

   Теорема. Функция f (x) имеет в точке х₀ конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.        Доказательство. Пусть

Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,

( ε > 0 ) ( δ₁ = δ₁ (ε) > 0 ) (x₀– δ₁ < x < x₀) : | f (x) – A | < ε.

( ε > 0 ) ( δ₂ = δ₂ (ε) > 0 ) (x₀< x < x₀+ δ₂) : | f (x) – A |<ε

Возьмем δ = min{δ₁,δ₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < | х - х₀ | < δ, будет выполняться неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает

  Обратно, пусть

Тогда, по определению предела функции в точке, для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от этого ε число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х₀| < δ, выполняется неравенство | f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х₀– δ < х < х₀, так и для х₀ < x < х₀ + δ, справедливо неравенство | f (х) – А | < ε. А это,согласно определению односторонних пределов, означает, что

Вопрос 18!

Предельный переход в неравенстве.Пусть в некоторой выколотой δ – окрестности точких₀функцииf(x) иg(x) определены и выполнено неравенствоf(x) <g(x). Пусть существуют пределы

и

тогда справедливо неравенство А ≤ B.   Доказательство. Пусть это не так,пусть А > B. Выберем как угодно малое положительное число ε таким, чтобы окрестности точек А и В не пересекались

(A– ε;A+ ε ) ∩ (B– ε;B+ ε ) ) = Ø

Кроме того по предположению

Знак между интервалами означает, что интервал (A - ε;A + ε) лежит правее интервала (B - ε;B + ε).    Из существования пределов функцийf(x) иg(x) в точкех₀следует

( ε > 0 ) (δ₁= δ₁(ε) > 0, δ₁< Δ) (0 < |x - x₀| < δ₁) : |f(x) –A| < ε,

и

( ε > 0 ) (δ₂= δ₂(ε) > 0, δ₂< Δ) (0 < |x - x₀| < δ₂) : |g(x) –B| < ε,

Если принять δ = min {δ₁,δ₂} < δ, то для 0 < |x - x₀| < δ следует неравенствоf(x) >g(x). Но это противоречит условию теоремы, значит, наше предположение А > B неверное.