- •2. Теорема Ролля.
- •Вопрос 2! Сложная функция
- •Вопрос 1!
- •Способы задания функции
- •Основные элементарные функции
- •Вопрос 3! числовые последовательности VI
- •§ 132 Сходящиеся и расходящиеся числовые последовательности
- •Упражнение
- •Вопрос 4! Арифметические действия над числовыми последовательностями
- •Вопрос 5!
- •Вопрос 6! Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
- •Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими последовательностями
- •Вопрос 7!!! Теорема об ограниченности сходящейся последовательности
- •Вопрос 8!!
- •Вопрос 9!
- •Вопрос 10! Предельный переход в неравенствах
- •Вопрос 11!
- •Вопрос 12!
- •Вопрос 13!
- •Вопрос 14! Односторонние пределы
- •Вопрос 18!
- •Вопрос 20!
- •Вопрос 21!
- •Второй замечательный предел
- •Вопрос 25!
- •Вопрос 28!
- •Вопрос 29!
- •Непрерывность обратной функции
- •Вопрос32 Непрерывность сложной функции
- •Вопрос 33!
- •Вопрос 34!
- •Вопрос 35!
- •Вопрос 36!
- •1) Физический смысл производной.
- •2) Геометрический смысл производной.
- •Вопрос 37!
- •Вопрос 38!
- •Вопрос 39!
- •Вопрос 40!
- •Вопрос 41!
- •Вопрос 42! Производная обратной функции
- •Теорема о производной сложной функции
- •Роизводная логарифмической функции.
- •Вопрос43! Производная функции, заданной неявно
- •Производные функции, заданной параметрически
- •Вопрос 44! Дифференциал функции
- •Инвариантность формы дифференциала первого порядка
- •Вопрос 45!
- •Вопрос 46!
- •Вопрос 47!
- •Вопрос 48! Дифференциалы высших порядков
- •Вопрос 50! Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Обобщенная теорема Ролля.
- •Вопрос 51!
- •Вопрос 52! Достаточные условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале
- •Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале
- •Вопрос 53!
- •Вопрос 54!
- •Вопрос 55!
Вопрос 46!
рименение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α•∆х. Отбрасывая бесконечно малую α•∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
<< Пример 24.3
Найти приближенное значение приращения функции у=х3-2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.
Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х3-2х+1)'•∆х=(3х2-2)•∆х.
Итак, ∆у0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:
∆у=((х+∆х)3-2(х+∆х)+1)-(х3-2х+1)=х3+3х2•∆х+3х•(∆х)2+(∆х)3-2х-2•∆х+1-х3+2х-1=∆х(3х2+3х•∆х+(∆х)2-2);
Абсолютная погрешность приближения равна
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ'(х)∆х
или
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ'(х)•∆х. (24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.
<< Пример 24.4
Вычислить приближенно arctg(1,05).
Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)'•∆х,
т. е.
Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М•(∆х)2, где М — наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].
Вопрос 47!
Производные высших порядков явно заданной функции
Производная у'=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.
Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у"
Итак, у"=(у')'.
Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядкаи обозначается у'" (или ƒ'"(х)). Итак, у'"=(y")'
Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:
y(n)=(y(n-1)) .
Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.
Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уνили у(5)— производная пятого порядка)
Производные высших порядков неявно заданной функции
Пусть функция у=ƒ(х) задана неявно в виде уравнения F(x;y)=0.
Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (первую производную). Продифференцировав по х первую производную, получим вторую производую от неявной функции. В нее войдут х,у,у. Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй производной, выразим у" через х и у.
Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.
<< Пример 23.2
Найти у'", если х2+у2=1.
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Пусть функция у=ƒ(х) задана параметрическими уравнениями
Как известно, первая производная у'х находится по формуле (23.1)
Найдем вторую производную от функции заданной параметрически. Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что
Аналогично получаем
Механический смысл производной второго порядка
Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S tравна скорости точки в данный момент времени: S't=V.
Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки,т. е. S"=α.
Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V.
Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α:
Но V=S't. Поэтому α=(S't)', т. е. α=S't'