Вопрос 36!

Пусть функция  определена в точкеи некоторой ее окрестности. Придадим аргументуприращениетакое, что точкапопадает в область определения функции.  Функция при этом получит приращение. 

     ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.Производной функции  в точкеназывается предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента,  при(если этот предел существует и конечен), т.е.

.

Обозначают: .

Производной функции в точкесправа (слева)называется

(если этот предел существует и конечен).

Обозначают:– производная y=f(x)  в точкесправа,

– производная y=f(x) в точкеслева.

 

Очевидно, что справедлива следующая теорема.

     Теорема 1: Функция y=f(x) имеет производную в точкетогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем

.

 

Следующая теорема устанавливает связь между существованием производной функции в точке и непрерывностью функции в этой точке.

ТЕОРЕМА (необходимое условие существования производной функции в точке).  Если функция  y = f(x) имеет производную в точке, то функция f(x)  в этой точке непрерывна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Пусть существует  .  Тогда

,

где– бесконечно малая при.

⇒  ;

⇒ 

.

Но это означает, что функция f(x) непрерывна в точке  (по геометрическому определению непрерывности).∎

 

Замечание. Непрерывность функции в точкене является достаточным условием существования производной этой функции в точке.  Например, функция y = |x|   непрерывна, но не имеет производной в точке.

Очевидно, что соответствиеявляется функцией, определенной на некотором множестве. Ее называютпроизводной функции  y = f(x) и обозначают

.

Операцию нахождения для функции f(x) ее производной функции называют дифференцированием функцииy = f(x).

1) Физический смысл производной.

Если  функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами,  то производная– скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке.  Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t,  то ее производная– скорость в момент времени.  Если  q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени  t,  то– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть – некоторая кривая,– точка на кривой.

Любая прямая, пересекающая не менее чем в двух точках называетсясекущей.

Касательной к кривой в точкеназывается предельное положение секущей,  если точкастремится к,  двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке существует, то она единственная

Рассмотрим кривую y = f(x)  (т.е. график функции  y = f(x)).  Пусть в точке он имеет невертикальную касательную.  Ее уравнение:(уравнение прямой, проходящей через точкуи имеющую угловой коэффициент  k).

По определению углового коэффициента , где– угол наклона прямойк оси.

Пусть– угол наклона секущейк оси,  где. Так как– касательная, то при

⇒⇒.

Следовательно,

.

Таким образом, получили, что– угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) в точке(геометрический смысл производной функции в точке).  Поэтому уравнение касательной к кривой y = f(x) в точкеможно записать в виде

 

      Замечание. Прямая, проходящая через точкуперпендикулярно касательной, проведенной к кривой в точке, называетсянормалью к кривой в точке. Так как угловые коэффициенты перпендикулярных прямых связаны соотношением,  то уравнение нормали к кривой y = f(x) в точкебудет иметь вид

,  если.

Если же, то касательная к кривой y = f(x) в точкебудет иметь вид, а нормаль