Вопрос 9!

 Теорема 4.Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.Доказательство. Пусть {x_n} – ограниченная, а {α_n} – бесконечно малая последовательности. Требуется доказать, что последовательность{x_n·α_n} бесконечно малая. Так как последовательность {x_n} ограничена, то существует числоА> 0 такое, что любой элемент числовой последовательности {x_n} удовлетворяет неравенству |x_n| ≤A. Возьмем любое как угодно малое положительное число ε > 0. Поскольку последовательность {α_n} бесконечно малая, то для любого как угодно малого положительного числа ε/ A существует номер N такой, что при всехn > N выполняется неравенство

 

Следовательно, при n > Nимеем

Это означает, что последовательность {x_n·α_n} является бесконечно малой числовой последовательностью.

Вопрос 10! Предельный переход в неравенствах

 Еслиx_n ≤y_nи,, тоx≤y. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как, то

Так как , то

Для n>N₁имеемx- ε <x_n<x+ ε. Дляn>N₂имеему - ε <у_n<у+ ε. ВыберемN= max{N₁,N₂}, тогда неравенства будут выполняться одновременно. Пусть, наоборот,х>y. Выберем ε таким, чтобы окрестностиx- ε <x_n<x+ ε иу- ε <у_n< у+ ε не пересекались, то естьу+ ε <х- ε, откуда находим

.

Но тогда для n>Nимеемx_n≥y_n, что противоречит условию теоремы. Для трёх последовательностей {x_n}, {y_n}, {z_n}, из того, чтоx_n+y_n≤z_nи,,, следуетa + b≤c.

Вопрос 11!

(Критерий Коши). Числовая последовательностьсходитсятогда и только тогда, когда она является фундаментальной.

Пример 24. Используя критерий Коши можно доказать, что последовательность (-1)ⁿ не имеет предела . Очевидно, что |x_n-x_n+1| = 2, поэтому если выбрать = 1, то получим отрицание утверждения, что последовательность фундаментальна. А именно:

>0,  n>N,  m>N, |x_n-x_m|.

Пример 25. Рассмотрим последовательность

x_n= 1+1/2+1/3+....+1/n Для исследования на сходимость воспользуемся определением фундаментальности Так как |x_n+p - x_n| = 1/(n+1)+ ... + 1/(n+p) >p/(n+p) , то при p=n |x_n+p - x_n|>n/2n = 1/2 =. Очевидно, чтоопределениефундаментальной последовательности не выполняется. В силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела

(теорема Вейерштрасса). Неубывающая последовательность сходитсякогда она ограничена сверху.

Доказательство. Необходимость. Если последовательность имеет предел, то онаограничена. Достаточность. Пустьx_n— ограниченная сверху последовательность. СуществуетS = sup x_n, то есть> 0 x_N: x_N > S - . Так как последовательность неубывающая, то

 n > N  x_n  x_N  S -  < x_N  x_n  S < S + . Следовательно, |x_n- S| <.

Вопрос 12!

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции   f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции   f  ( x ) в точке a , если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a , и для любой последовательности такой, чтосходящейся к числуa , соответствующая последовательность значений функции сходится к числуA .

Если A – предел функции в точке a , то пишут, что

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Предел функции в точкеa  = 0 равен 0: Предел функциив точкеa  = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции в точкеa  = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f  (0) = 1.

Если функция f  ( x ) имеет предел в точке a , то этот предел единственный.

Число A ₁ называется пределом функции f  ( x ) слева в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Число A ₂ называется пределом функции f  ( x ) справа в точке a , если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех выполняется неравенство

Предел слева обозначается предел справа –Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точкиa . Их часто называют односторонними пределами . В обозначении односторонних пределов при x  → 0 обычно опускают первый нуль: и. Так, для функции

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a , что для всех x , удовлетворяющих условию | x  –  a | < δ, x  ≠  a , выполняется неравенство | f  ( x )| > ε, то говорят, что функция f  ( x ) имеет в точке a бесконечный предел:

Так, функция имеет в точкеx  = 0 бесконечный предел Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так,

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x  > δ выполняется неравенство | f  ( x ) –  A | < ε, то говорят, что предел функции f  ( x ) при x , стремящемся к плюс бесконечности, равен A :

Аналогично формулируется определение предела при x , стремящемся к минус бесконечности: В качестве примера приведем функциюкоторая стремится на бесконечности к нулю:

Наконец, запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любогоx  > δ выполняется неравенство f  ( x ) > ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любогоx  > δ выполняется неравенство f  ( x ) < –ε. Запись означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенствоf  ( x ) < –ε.

Если функция f  ( x ) имеет конечный предел в точке a , то существует окрестность точки a , в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A  ≠ 0, то найдется окрестность точки a , в которой (быть может, за исключением самой точки a ) значения функции f имеют тот же знак, что и число A .

Если существует такое δ > 0, что для всех x , принадлежащих δ-окрестности точки a , выполняются неравенства g  ( x ) ≤  f  ( x ) ≤  h  ( x ), и если , то существует

Если существует такое δ > 0, что для всех x , принадлежащих δ-окрестности точки a , справедливо неравенство f  ( x ) <  g  ( x ), и если тоA  ≤  B .

Если функции f  ( x ) и g  ( x ) имеют конечные пределы в точке a , причем то

• ,

• 

• если B  ≠ 0 и если g  ( x ) ≠ 0 в δ-окрестности точки a .

Из существования пределов f  ( x ) в точке a и g  ( y ) в точке f  ( a ) следует существование предела сложной функции g  ( f  ( x )) в точке a .

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы :

Доказательство

Для доказательства первого предела используется неравенство , верное для (неравенство sinx  <  x следует из определения синуса при рассмотрении единичной окружности, а для доказательства неравенства x  < tg  x необходимо нарисовать ось тангенсов). Для доказательства второго предела используется монотонная и ограниченная последовательность

Другие важные пределы (при a  > 0, a  ≠ 1): следуют из замечательных пределов и свойства предела обратной функции.

Функция α ( x ) называется бесконечно малой при x  →  a (здесь a – конечное число или ∞), если Функцияx  = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

• Сумма конечного числа бесконечно малых при x  →  a функций есть бесконечно малая функция.

• Произведение бесконечно малой при x  →  a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x  →  a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f  ( x ),  g  ( x ), h  ( x ) такие, что f  ( x ) =  g  ( x )  h  ( x ), , то функцииf  ( x ) и g  ( x ) называются эквивалентными при x  →  a : f  ( x ) ~  g  ( x ).

Так, функции иэквивалентны приx  → 0, так как а второй множитель стремится к 1 приx  → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x  → 0:

sin  x  ~  x

tg  x  ~  x

arcsin  x  ~  x

arctg  x  ~  x

e ^x  – 1 ~  x

ln (1 +  x ) ~  x

(1 +  x ) ^α  – 1 ~ α  x .

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.