Основные элементарные функции

  Линейная функцияподробно рассматривалась в разделе "Аналитическая геометрия".Степенная функция определяется соотношениемy=xⁿ,n≠ 0 . При натуральных значенияхnэта функция определена на всей числовой прямой, т. е.хR. При четном показателе степени степенная функция является четной и y принимает положительные значения. Ее графиками служат параболы соответственно второго, четвертого и т.д. порядков,рис. 5.4.    При нечетном показателе функция является нечетной и принимает значенияy(− ∞, + ∞) . Ее графиками служат параболы третьего, пятого и т. д. порядков,рис. 5.5. П о к а з а т е л ь н а я функция y = a^x, (a ≠ 1, a > 0). Область ее определения x(- ∞, + ∞), множество значений y( 0, + ∞). Еслиa> 1, то функция монотонно возрастает, а если 0 <a< 1 - монотонно убывает. При этом для любого основания выполняется равенствоa⁰= 1. Следовательно, график любой показательной функции проходит через точку (0; 1),рис. 5.6. Л о г а р и ф м и ч е с к а я функция. Эта функция является обратной по отношению к показательной. График логарифмической функции симметричен графику показательной функции относительно прямойу = х. При этом для любого основанияа> 0 иа≠ 1 выполняется условие log_a1 = 0, поэтому график всякой логарифмической функции проходит через точку (1; 0),рис. 5.7.Тригонометрические функцииy= sinx,y= cosx,y= tgx,y= ctgx. Функцииy= sinхиу= cosхопределены на всей числовой прямой и имеют множеством значений промежуток [− 1, 1],рис. 5.8.   Функцияу= tgхопределена при всех значениях, монотонно возрастает в каждом интервале области определения.    Функцияу= ctgхопределена при всех значенияхx≠ πn,nN, и монотонно убывает в каждом интервале области определения.    Множеством значений тангенса и котангенса служит промежуток (− ∞; + ∞).   Функцииу= sinх,у= tgхиу= ctgх− нечетные, их графики симметричны относительно начала координат. Функцияу= cosx- четная, ее график симметричен относительно оси Оу.   Тригонометрические функции являются периодическими.Определение. Функцияf(х) называется периодической, если существует такое число Т > 0, что для любых значений аргумента из области определения функции имеет место равенствоf(x± T) =f(x).   Основной период функцийу= sinхиу= cosxравен 2·, основной период функцийу= tgxиy= ctgxравен.Обратные тригонометрические функции. Функцияy= arcsinx, гдех[− 1; + 1],y[−/ 2,/2 ], означает, чтоуесть угол из промежутка [−/ 2,/2 ], синус которого равенх, то естьх= sinу.    Функцияy= arcsinxявляется обратной для функцииy= sinx,x[−/ 2,/ 2 ],у[− 1; + 1],рис. 5.9.   Функцияу= arcсosх,x[− 1, 1],y[0,] обратная функцииу= сosх, гдех[0,] иy[− 1, 1]. Её график симметричен графикуу= сosхотносительно прямойу = х,рис. 5.10.    Функцияу= arctgx, гдеx(− ∞; + ∞) иy(−/ 2,/ 2 ), является обратной функцииy= tgx,y(− ∞; + ∞) и . Ее график симметричен графику функцииy= tgx,x(−/ 2,/ 2 ), относительно прямойу = х,рис. 5.11.   Функцияу= arcctgx,x(− ∞; + ∞),y(0;) обратная функцииу= ctgx,x(0;),у(− ∞; + ∞). Ее график симметричен графикуу= ctgx,x(0;), относительно прямойу = х,рис. 5.12.