Вопрос 2! Сложная функция

  Если функция y зависит от переменной u, т. е. у = f(u),uU, аu, в свою очередь, является какой - либо функцией от независимой переменнойх, т. еu = g(x),хХ, то переменная у называется функцией от функции (или сложной функцией) отxи записывается в виде Y =f(u),u = g(x), илиy = f [g(x)].   Область определения сложной функции - это множество тех значенийхX, для которых функцияg(x) определена, кроме того, значенияuпринадлежат области определения функцииy = f (u).    П р и м е р 3. Функцияявляется сложной. Здесьy= √uиu=x²− 2·x− 3.    Функцияu = x²− 2·x− 3 определена на всей числовой прямой, т. е.xR. В область определения функцииy=f(x) входят лишь те значениях, для которых подкоренное выражение неотрицательноx²− 2·x− 3 ≥ 0, поэтомух≤ − 1 их≥ 3. Следовательно, D = (− ∞, 1][3, + ∞) . На интервале [− 1, 3] заданная функция не существует.   Из определения следует, что сложная функцияу = f [g(x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций:у = f(u),u = g(x). Переменнуюuпринято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменнойх.

Вопрос 1!

Функция

  Пусть даны два непустых подмножества D и Е множества R. Если каждому элементу х из D сопоставляется по какому - либо правилу один и только один элемент у из Е, то говорят, что на множестве D задана функция. Эта функция записывается в виде

y=f(x)xD илиx→ f(x)xD

  Следует заметить, что функция является частным случаем соответствия, при котором одному элементу из множества D ставится в соответствие только один элемент из множества Е.   Подмножество D или D ( f) называется областью определения (существования) функцииу=f(х), подмножество Е или Е ( f) множеством ее значений. Переменнаяхназывают независимой переменной или аргументом, переменнаяy- зависимой переменной, а соответствие такого рода между ними - функциональной зависимостью.   Функция называется числовой, если ее область определения и множество значений - числовые множества, т. е. D(f)R и E (f)R

Способы задания функции

Аналитическое задание функции. Функция задана аналитически, если функциональная зависимость выражена в виде формулы, которая указывает совокупность тех математических операций, которые должны быть выполнены, чтобы по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.   При аналитическом задании функции часто не указывают область ее определения. Если функция задана формулой, то при отсутствии особых оговорок областью ее определения считается наибольшее множество, на котором эта формула имеет смысл.Замечание. Областью определения функцийf(x) ±g(x),f(x)·g(x);f(x)/g(x) является пересечение областей определения составляющих функций, причем последняя функция, кроме того, не определена в тех точках, где знаменатель обращается в нольg(х) = 0.Замечание. Функцию не следует отождествлять с формулой, с помощью которой она задана. Например, функцииy = x²,x(- ∞, + ∞) , иy = x²,x[2, 4] выраженные одной и той же формулойу = х², различны, так как имеют разные области определения.   Функция может быть задана разными формулами на различных участках области определения. Пусть, например (рис. 5.1).

  Две функции равны только в том случае, когда их области определения совпадают, и эти функции принимают одинаковые значения при одних и тех же значениях аргумента.   Аналитический способ задания функцииудобен тем, что значения функции можно вычислить при любых допустимых значениях аргумента. По заданному аналитическому выражению функции удобно изучать ее свойства. Однако недостатком этого способа задания функции является его малая наглядность.Графический и табличный способы задания функции. Графиком числовой функцииу=f(х) называется множество точек плоскости с координатами (х;f(х)), абсциссы которых - числа из области определения функции, а ординаты - соответствующие значения функции, т. е.

Г = {(x;y)|xD ,y=f(х)}.

Графический способ задания функции используют тогда, когда функцию трудно или невозможно задать аналитически. График функции дает наглядное представление о свойствах функции. Задать функцию графически - это значит построить ее график.   3амечание. Не всякое множество точек координатной плоскости, даже не всякая линия может служить графиком функции. Линия только в том случае задает функцию, если любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает ее не более чем в одной точке.Пример 2. Линия, заданная уравнениемy²= 2·x, не является графиком функции, постольку прямая, параллельная оси Oy, пересекает его в двух точках при всех значенияхх, кромех= 0. Заданное уравнение эквивалентно двум уравнением, каждое из которых определяет функцию рис. 5.2.

y= ± √2x.

Верхний знак соответствует верхнейполовине параболы, нижний знак соответствует нижней половине параболы. Обе функции определены при x[0, +∞).При табличном способе задания функциирядом с числовым значением аргумента выписывается соответствующее значение функции. Таблицы могут составляться также по значениям х и у, полученным из опыта или наблюдения. Для построения графика по аналитическому выражению функции в простейшем случае также составляется таблица значений аргумента и функции.   Недостатком табличного способа задания функции является то, что в таблице могут быть указаны не все, а лишь отдельные значения аргумента и функции. Особенности изменения функции при этом могут быть искажены или утрачены.