Вопрос 51!

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Рассмотрим функцию f(x)=e^x. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

Таким образом, получаем

Используя эту формулу и придавая xразличные значения, мы сможем вычислить значениеe^x.

Например, при x=1, ограничиваясьn=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числаe:

причем остаток

Отметим, что для любого x  Rостаточный член

Действительно, так как ξ (0;x), то величинаe^ξограничена при фиксированномx. Приx> 0e^ξ<e^x. Докажем, что при фиксированномx

Имеем

Если xзафиксировано, то существует натуральное числоNтакое, что |x|<N.

Обозначим Заметив, что 0<q<1, приn>Nможем написать

Но , не зависящая отn, атак как q<1. ПоэтомуСледовательно,

Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислитьe^xс любой степенью точности

Вопрос 52! Достаточные условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

   Теорема.Для того чтобы функцияf(x), дифференцируемая в точкех₀(а,b), возрастала (убывала) в точкех₀, достаточно, чтобыf' (x₀) > 0 (f' (x₀) < 0).Доказательство.Так как по условиюf(x) дифференцируема в точкех₀(а,b), то существует предел

.

В достаточно малой окрестности точки х₀имеем

,

где signA означает "знак выражения А". Для случаяf' (x₀) > 0 имеемsignf' (x₀) = + 1, поэтому

sign (f ( x₀ + h) − f ( x₀)) = sign (h).

Откуда следует f(x₀−h) <f(x₀) <f(x₀+h), что означает возрастание функции в точке.

Необходимые условия возрастания и убывания функции в точке и на интервале

   Теорема.Для того чтобы функцияf(x), дифференцируемая в точкех₀(а,b), возрастала (убывала) в точкеx₀, необходимо, чтобы её производная в точкех₀была неотрицательнойf' (x₀) ≥ 0 (неположительнойf' (x₀) ≤ 0).Доказательство.Пусть функцияf(x) возрастает в точкех₀(а,b) и справедливы неравенства

f(x₀−h) <f(x₀) <f(x₀+h)

В этом случае для положительного приращения hимеем

и.

Выполняя предельный переход в неравенствах, получим

.

Аналогично

.

Так как функция имеет производную в точке, то

,

что и требовалось доказать.    Определение.Функцияf(x) называется строго возрастающей (убывающей) на отрезке [а,b], если для любых значений аргументов из этого отрезка большему значению аргумента соответствует строго большее (меньшее) значение функции.    Как следствие теоремы Лагранжа можно сформулировать теорему.Теорема.Если функцияf(x) определена на отрезке [а,b], дифференцируема в точкахх(а,b) и

f' (x) > 0, (f' (x) < 0),

то функция f(x) возрастает (убывает) на отрезке [а,b].Доказательство.Применим теорему о конечных приращениях для двух произвольных точек х₁< х₂[а,b]

f(x₂) −f(x₁) =f' (c)·(x₂− x₁),

где с(x₁;x₂). Из этого соотношения следует

sign ( f (x₂ ) − f ( x₁ ) ) = sign f ' ( c)

   В случае f' (x) > 0 для всехх(а,b) имеемf(x₂) >f(x₁) , и большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Что свидетельствует о возрастании функции.

Вопрос 53!

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть в точкефункциянепрерывна, а производнаяпри переходе через точкуменяет знак. Тогда– точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Доказательство.Пустьприипри.

По теореме Лагранжа,где.Тогда если, то; поэтомуи, следовательно,, или. Если же, то; поэтомуи, следовательно,или.

Таким образом доказано, что в любых точках вблизи, т.е.– точка максимума функции.

Доказательство теоремы для точки минимума проводится аналогично. Теорема доказана.

Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точкеэкстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума).Пусть в точкепроизводная дважды дифференцируемой функцииравна 0 (), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля () и непрерывна в некоторой окрестности точки. Тогда– точка экстремума; приэто точка минимума, а приэто точка максимума.