3870

1. Математическая модель нагрева воды дымовыми газами. Нагревание воды про-

исходит за счет контакта дымовых газов со стенками труб теплообменного аппарата, работающего по перекрестной схеме (рис. 1). За счет разности температур и, как следствие, плотности воды, возникает естественная конвекция. Непрерывно циркулируя, вода постепенно нагревается до нужной температуры (95 °С). Скорость конвекции u заранее неизвестна.

Рис. 1. Схема зарядки теплового аккумулятора

Методами инженерной гидравлики [1] с учетом режима движения (число Рейнольдса) была определена максимально возможная скорость естественного движения воды в теплопередающей трубе. Это значение составляет umax =0,424 м/с.

Запишем математическую модель процесса нагрева воды в трубе, боковая поверхность которой теплоизолирована, а на нижнем начальном участке тепло передается от дымовых газов. На некотором интервале времени скорость восходящего потока воды в трубе u можно считать постоянной. Уравнение теплопроводности запишется в виде

где T — температура, ºС; τ — время, с; а — коэффициент температуропроводности, м2/с; u — скорость воды, м/с.

Предполагается, из-за малого диаметра трубы, что по всей площади сечения температура распределена равномерно.

Примем следующие начальные и граничные условия для решения уравнения (1). Производя отсчет температур от Т0, начальное условие запишем в виде

На верхнем конце трубы х = l происходит теплоотдача по закону Ньютона-Рихмана в среду (в баке) с коэффициентом теплоотдачи α:

где α — коэффициент теплоотдачи, Дж/(м2·с); — коэффициент теплопроводности воды Дж/(м·с).

На нижнем конце трубы вода получает тепло от дымовых газов.

Ввиду неопределенности были рассмотрены следующие варианты граничных условий

[19] при х = 0 и х = l:

41

Научный журнал строительства и архитектуры

где Т00 — неизвестная температура стенки трубы при х = 0.

Аналитическое решение уравнения (1) с использованием граничных условий и начальных (2) было получено методом Фурье (разделения переменных):

где n — положительные корни полученного характеристического уравнения вида

где Nu l — критерий Нуссельта.

Как видно из формулы (4), расчетное значение Т(l, τ) зависит от трех параметров: T00,

Nu и u.

2. Идентификация математических моделей. Полученная модель должна пройти процедуру идентификации — установление таких численных значений водящих в нее параметров, которые давали бы модели адекватное соответствие существующим эмпирическим данным [15, 16]. Структурная схема вычислительного процесса идентификации модели представлена на рис. 2.

Блок 1. Ввод исходных данных: начальной температуры Т0; координаты х, в которой производились измерения температур в различные моменты времени; эмпирический ряд времен τ(j) и соответствующий этим моментам времени эмпирический ряд температур Топ (j); значения параметров модели: скорости конвекцииu, критерия Нуссельта Nu, температуры Т00.

Блок 2. Решение при заданном критерии Нуссельта Nu характеристического уравнения (5) по алгоритму (9) — (10).

Блок 3. Вычисление для каждого момента времени τ(j) температуры Т(l, τ(j)) по расчетной формуле (4).

Блок 4. Вычисление критерия адекватности — функционала Гаусса, соответствующего заданным значениям параметров модели u, Nu, T00.

Блок 5. Минимизация функционала Гаусса сочетанием методов покоординатного и наикратчайшего спуска, включающая планирование вычислительного эксперимента; возврат к блоку 1 для замены числового значения параметров u, Nu, T00; переход к блоку 6 при достижении минимума [12, 14].

Блок 6. Сравнение оптимального значения функционала Гаусса с дисперсией воспроизводимости по статистическому критерию Фишера [20]. Принятие математической модели,

42

т. е. идентификация — установление численных значений параметров u, Nu, T00, в случаях адекватности. Переход к блоку 7.

Блок 7. Печать оптимальных значений u, Nu, T00 и расчетных значений температур Т(х, τ(j)) . Отказ от математической модели в случае ее неадекватности.

начало

Блок 1. Исходные данные

T0, x, τ(j), Tоп (j), u, Nu, T00

Блок 2. Решение характеристического уравнения

n n 1 0,00005 2

Блок 3. Расчет T x, j

Блок 4. Расчет критерия адекватности Ф (11)

Блок 5. Минимизация критерия адекватности Ф

печать

конец

Рис. 2. Структурная схема идентификации математической модели

Для нахождения величины корней μn используем итерационную формулуНьютона [10]:

g ст

новn стn g' nст , (6) n

43

Научный журнал строительства и архитектуры

и ее производная

Таким образом, итерационная формула приводится к виду

Начальное значение μn задается из интервала

n 1 n n 1 .

2

Расчет заканчивается при достижении заданной наперед точности (погрешности) ε, например, при выполнении неравенства

В качестве критерия адекватности моделей был использован функционал Гаусса, который для решения по первому варианту имеет вид

j 1

где через V(j) обозначено выражение в квадратных скобках правой части формулы (4) при опытном значении τ = τ(j); N — число опытных замеров τ(j) и Топ (j).

Дифференцируя функционал (11) по Т00 и приравнивая производную нулю, получим

N

Tоп j V j

V j V j

j 1

Процесс идентификации по схеме (см. рис. 2) был реализован для всех вариантов модели на алгоритмическом языке. Результаты идентификации приведены ниже.

Вариант 1. Характеристическое уравнение — (5), решение — (4). Оптимальные значе-

ния: T00 = 12,64861, Nu = 0,9997329, u1 = 0, u2 = 0,3059973, u3 = 0,1100073. Значение функционала Гаусса: Ф = 737,8488.

Вариант 2. Характеристическое уравнение:

Оптимальные значения: T00 =-8,994679, Nu=0,500151, u1 =0, u2 =0,30388, u3 =0,101292.

Значение функционала Гаусса: Ф=3542,8.

44

Выпуск № 1 (45), 2017 ISSN 2541-7592

Вариант 3. Характеристическое уравнение:

Значение функционала Гаусса: Ф = 1092,762.

Сопоставление трех исследованных вариантов моделей показывает, что критерий оптимальности (сумма квадратов отклонений опытных значений T(x, l) от расчетных) имеет наименьшее значение для первого варианта: Ф = 737,8488. Значения неизвестных параметров математической модели следует принять по результатам именно этого варианта, т. е.

T00 12,69782, Nu 0,9997329, u1 0, 0 t 7 мин,

u2 0,3059973, 7 t 22 мин, u3 0,1100073, 22 t 92 мин.

Таким образом, получена и идентифицирована модель нагрева воды в теплопередающей трубе.

3.Расчет температурного поля в баке-аккумуляторе. Для расчета температуры воды

вбаке-аккумуляторе в зависимости от времени и координаты решим уравнение теплопроводности [11, 13]:

где f(t) представляет собой температуру воды в трубе на входе в бак (z = 0), отсчитанную от начальной температуры Т0.

Вдальнейшем температуру воды в баке-аккумуляторе будем отсчитывать от Т0, так что

вначальный момент времени всюду

45

Научный журнал строительства и архитектуры

В уравнении (13) через uб обозначена скорость воды в баке:

где Sтр, Sб — площадь теплопередающей трубы и бака соответственно, м2.

С использованием функции влияния [2] решение уравнения (13) при граничном условии (14) и начальном условии (16) имеет вид

Интегрирование (19) выполнялось численно, по формулам прямоугольников. Расчет температуры воды в баке по формулам (19), (4) реализован на алгоритмическом языке. Статистическая оценка по критерию Фишера показывает, что уравнение (19) адекватно описывает зависимость температуры воды на выходе из бака-аккумулятора от времени.

Заметим, что как функция f(t), так и опытные значения температуры воды в трубе на входе в бак, аппроксимируются линейной зависимостью

где А = 75,968, В = 0,1391, при t > 22 мин.

Тогда для решения задачи (13) при условиях (14), (15) воспользуемся аналитической зависимостью, полученной [3, 17] операционным методом (преобразование Лапласа), которая имеет следующий вид:

В (21) через Ф*(х) обозначена дополнительная функция ошибок:

х

Ф х 2 е 2 d . (23)

0

Функцию ошибок (интеграл вероятности) (23) можно представить в виде равномерно сходящегося ряда:

Опыт расчета функции ошибок показывает, что при х < 1 для получения результатов с погрешностью менее 0,000001 в разложении (24) достаточно удержать 3 члена, т. е. аппроксимировать эту функцию следующим полиномом:

46

Результаты расчетов температуры по формулам (21) и (19) отличаются друг от друга не более чем на 8 %.

На рис. 3 представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований процесса зарядки бака-аккумулятора.

Время,мин

Рис. 3. Изменение температуры воды в баке-аккумуляторе: I — на входе в бак; II — на выходе из бака;

— теоретическая; — приближенная

Выводы

1.Разработаны математические модели для описания процессов конвективного теплообмена в баке-аккумуляторе. Путем идентификации получены оптимальные параметры, при которых модель становится адекватной эксперименту.

2.Определена наилучшая модель нагрева воды в теплопередающей трубе с использованием в качестве критерия функционала Гаусса.

3.На основе математического моделирования получены аналитические зависимости для определения температур на входе и выходе из бака-аккумулятора.

4.Получена также упрощенная математическая модель зарядки бака-аккумулятора.

Библиографический список

1. Альтшуль, А. Д. Гидравлика и аэродинамика / А. Д. Альтшуль, Л. С. Животовский, Л. П. Иванов. — М.: Стройиздат, 1987. — 414 с.

2. Будак, Б. М. Сборник задач по математической физике / Б. М. Будак, А. А. Самарский, А. Н. Тихонов. — М.: Наука, 1972. — 688 с.

3.Карлслоу, Г. Теплопроводность твердых тел / Г. Карслоу, Д. Егер. — М.: Наука, 1964. — 488 с.

4.Китаев, Д. Н. Влияние современных отопительных приборов на регулирование тепловых сетей / Д. Н. Китаев // Научный журнал. Инженерные системы и сооружения. — 2014. — Т. 2, № 4 (17). — С. 49—55.

5.Китаев, Д. Н. Исследование значений кпд мини-ТЭЦ / Д. Н. Китаев, А. Т. Курносов // Вестник Воронежского государственного технического университета. — 2008. — Т 4, № 12. — С. 71 — 73.

6.Китаев, Д. Н. Перспективные схемы использования когенерационных установок в системах теплоснабжения / Д. Н. Китаев, А. В. Золотарев, Н. С. Шестых // Научный журнал. Инженерные системы и сооружения. — 2012. — № 2 (7). — С. 26 — 29.

47

Научный журнал строительства и архитектуры

7.Китаев, Д. Н. Погрешность расчета температурного графика тепловой сети при использовании

показателей отопительных приборов / Д. Н. Китаев // Промышленная энергетика. — 2013. — № 7. — С. 34—37.

8.Китаев, Д. Н. Расчет температуры наружного воздуха в точке излома температурного графика / Д. Н. Китаев // Новости теплоснабжения. — 2012. — № 10 (146). — С. 46—48.

9.Китаев, Д. Н. Современные отопительные приборы и их показатели /Д. Н. Китаев // Сантехника, отопление, кондиционирование, энергосбережение. — 2014. — № 1. — С. 48 — 49.

10.Лапчик, М. П. Численные методы / М. П. Лапчик, М. И. Рагулина, Е. К. Хеннер. — М.: Академия, 2004. — 384 с.

11.Мелькумов, В. Н. Взаимодействие вентиляционных воздушных потоков с конвективными потоками от источников теплоты / В. Н. Мелькумов, С. Н. Кузнецов // Известия вузов. Строительство. — 2009. — №1. — С. 63—69.

12.Мелькумов, В. Н. Выбор математической модели трасс тепловых сетей / В. Н. Мелькумов, И. С. Кузнецов, В. Н. Кобелев // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура. — 2011. —

№2. — С. 31—36.

13.Мелькумов, В. Н. Динамика формирования воздушных потоков и полей температуры в помещении / В. Н. Мелькумов, С. Н. Кузнецов // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура. — 2008. — № 4. — С. 172—178.

14.Мелькумов, В. Н. Задача поиска оптимальной структуры тепловых сетей / В. Н. Мелькумов, И. С. Кузнецов, В. Н. Кобелев // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура. — 2011. —

№2. — С. 37—42.

15.Мелькумов, В. Н. Математическое моделирование воздушных потоков в помещениях больших объемов / В. Н. Мелькумов, А. В. Лобода, С. В. Чуйкин // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура. — 2014. — № 2 (34). — С. 11—18.

16.Мелькумов, В. Н. Математическое моделирование полей концентраций вредных веществ при производстве строительных материалов / В. Н. Мелькумов, С. Н. Кузнецов // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура. — 2013. — № 1 (29). — С. 99—107.

17.Мелькумов, В. Н. Моделирование задымленности помещений сложной конфигурации в начальной стадии пожара / В. Н Мелькумов, С. Н. Кузнецов, В. В. Гулак // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура. — 2010. — № 3. — С. 131—138.

18.Мелькумов, В. Н. Моделирование структуры инженерных сетей при территориальном планировании города / В. Н Мелькумов, С. В Чуйкин, А. М. Папшицкий, К. А. Скляров // Научный вестник Воронежского ГАСУ. Строительство и архитектура. — 2015. — № 2 (38). — С. 41—48.

19.Мучник, Г. Ф. Методы теории теплообмена. Теплопроводность / Г. Ф. Мучник, И. Б. Рубашов. — М.: Высш. шк.,1970. — 288 с.

20.Шеффе, Г. Дисперсионный анализ / Г. Шеффе. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. — 512 с.

References

1.Al'tshul', A. D. Gidravlika i aerodinamika / A. D. Al'tshul', L. S. Zhivotovskii, L. P. Ivanov. — M.: Stroiizdat, 1987. — 414 s.

2.Budak, B. M. Sbornik zadach po matematicheskoi fizike / B. M. Budak, A. A. Samarskii, A. N. Tikhonov. — M.: Nauka, 1972. — 688 s.

3.Karlslou, G. Teploprovodnost' tverdykh tel / G. Karslou, D. Eger. — M.: Nauka, 1964. — 488 s.

4. Kitaev, D. N. Vliyanie sovremennykh otopitel'nykh priborov na regulirovanie teplovykh setei /

D.N. Kitaev // Nauchnyi zhurnal. Inzhenernye sistemyi sooruzheniya. — 2014. — T. 2, № 4 (17). — S. 49—55.

5.Kitaev, D. N. Issledovanie znachenii kpd mini-TETS / D. N. Kitaev, A. T. Kurnosov // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. — 2008. — T 4, № 12. — S. 71 — 73.

6.Kitaev, D. N. Perspektivnye skhemy ispol'zovaniya kogeneratsionnykh ustanovok v sistemakh teplosnabzheniya / D. N. Kitaev, A. V. Zolotarev, N. S. Shestykh // Nauchnyi zhurnal. Inzhenernye sistemy i sooruzheniya. — 2012. — № 2 (7). — S. 26 — 29.

7.Kitaev, D. N. Pogreshnost' rascheta temperaturnogo grafika teplovoi seti pri ispol'zovanii pokazatelei otopitel'nykh priborov / D. N. Kitaev // Promyshlennaya energetika. — 2013. — № 7. — S. 34—37.

8. Kitaev, D. N. Raschet temperatury naruzhnogo vozdukha v tochke izloma temperaturnogo grafika /

D.N. Kitaev // Novosti teplosnabzheniya. — 2012. — № 10 (146). — S. 46—48.

9.Kitaev, D. N. Sovremennye otopitel'nye pribory i ikh pokazateli /D. N. Kitaev // Santekhnika, otoplenie, konditsionirovanie, energosberezhenie. — 2014. — № 1. —S. 48 — 49.

10.Lapchik, M. P. Chislennye metody / M. P. Lapchik, M. I. Ragulina, E. K. Khenner. — M.: Akademiya, 2004. — 384 s.

48

11. Mel'kumov, V. N. Vzaimodeistvie ventilyatsionnykh vozdushnykh potokov s konvektivnymi potokami ot istochnikov teploty / V. N. Mel'kumov, S. N. Kuznetsov // Izvestiya vuzov. Stroitel'stvo. — 2009. — № 1. — S. 63— 69.

12. Mel'kumov, V. N. Vybor matematicheskoi modeli trass teplovykh setei / V. N. Mel'kumov, I. S. Kuznetsov, V. N. Kobelev // Nauchnyi vestnik Voronezhskogo GASU. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 2011. —

№2. — S. 31—36.

13.Mel'kumov, V. N. Dinamika formirovaniya vozdushnykh potokov i polei temperatury v pomeshchenii / V. N. Mel'kumov, S. N. Kuznetsov // Nauchnyi vestnik Voronezhskogo GASU. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 2008. —

№4. — S. 172—178.

14. Mel'kumov, V. N. Zadacha poiska optimal'noi struktury teplovykh setei / V. N. Mel'kumov, I. S. Kuznetsov, V. N. Kobelev // Nauchnyi vestnik Voronezhskogo GASU. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 2011. —

№2. — S. 37—42.

15.Mel'kumov, V. N. Matematicheskoe modelirovanie vozdushnykh potokov v pomeshcheniyakh bol'shikh obˈemov / V. N. Mel'kumov, A. V. Loboda, S. V. Chuikin // Nauchnyi vestnik Voronezhskogo GASU. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 2014. — № 2 (34). — S. 11—18.

16.Mel'kumov, V. N. Matematicheskoe modelirovanie polei kontsentratsii vrednykh veshchestv pri proizvodstve stroitel'nykh materialov / V. N. Mel'kumov, S. N. Kuznetsov // Nauchnyi vestnik Voronezhskogo GASU. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 2013. — № 1 (29). — S. 99—107.

17.Mel'kumov, V. N. Modelirovanie zadymlennosti pomeshchenii slozhnoi konfiguratsii v nachal'noi stadii pozhara / V. N Mel'kumov, S. N. Kuznetsov, V. V. Gulak // Nauchnyi vestnik Voronezhskogo GASU. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 2010. — № 3. — S. 131—138.

18. Mel'kumov, V. N. Modelirovanie struktury inzhenernykh setei pri territorial'nom planirovanii goroda / V. N Mel'kumov, S. V Chuikin, A. M. Papshitskii, K. A. Sklyarov // Nauchnyi vestnik Voronezhskogo GASU. Stroitel'stvo i arkhitektura. — 2015. — № 2 (38). — S. 41—48.

19.Muchnik, G. F. Metody teorii teploobmena. Teploprovodnost' / G. F. Muchnik, I. B. Rubashov. — M.: Vyssh. shk.,1970. — 288 s.

20.Sheffe, G. Dispersionnyi analiz / G. Sheffe. — M.: Nauka. Gl. red. fiz.-mat. lit., 1980. — 512 s.

MATHEMATICAL MODEL OF CONVECTIVE HEAT TRANSFER WHEN CHARGING A HEAT ACCUMULATOR OF A HEAT SUPPLY SYSTEM

V. N. Mel'kumov, D. N. Kitaev

Voronezh State Technical University

Russia, Voronezh, tel.: (473) 271-53-21, e-mail: teplosnab_kaf@vgasu.vrn.ru

V. N. Mel'kumov, D. Sc. in Engineering, Prof., Head. of the Dept. of Heat Supply and Oil and Gas Business Russia, Voronezh, tel.: (473) 271-53-21, e-mail: dim.kit@rambler.ru

D. N. Kitaev, PhD in Engineering, Assoc. Prof. of the Dept. of Heat Supply and Oil and Gas Business

Statement of the problem. Currently in order to improve the reliability of heat supply technologies of small energy sources are being implemented, e. g., small heating plant based on internal combustion engines. The thermal energy in such installations is mainly produced by utilizing the waste heat of outflow smoke gases having a high temperature and thus heating the water in the tank. Is important to search for the most adequate mathematical models allowing one to determine the time of heating of a coolant in tank-accumulators.

Results and conclusions. Mathematical models of unsteady processes of charging a storage tank used in a heating system are obtained. By means of identifying models based on the minimization of the functional Gauss implemented in algorithms, the most appropriate mathematical model was established. A simplified mathematical model of the charging process of a storage tank was obtained allowing one to determine the water temperature with an error of less than 8 %. Based on mathematical modeling, analytical dependences for determining the temperature of a heat carrier at inlet and outlet of the storage tank are identified.

Keywords: heating, storage tank, heat transfer.

49

Научный журнал строительства и архитектуры

УДК 644.1

ВЫБОР ВОЗДУХООБМЕНА В ПОМЕЩЕНИЯХ

СДВИЖУЩИМИСЯ ИСТОЧНИКАМИ ВРЕДНЫХ ВЕЩЕСТВ

C. Н. Кузнецов, А. И. Колосов, А. С. Чесноков

Воронежский государственный технический университет Россия, г. Воронеж, тел.: (473)271-53-21, e-mail: kuznetvrn@mail.ru

С. Н. Кузнецов, д-р техн. наук, проф. кафедры теплогазоснабжения и нефтегазового дела Россия, г. Воронеж, тел.: (473)271-53-21, e-mail: kolossn@yandex.ru

А. И. Колосов, канд. техн. наук, доц. кафедры теплогазоснабжения и нефтегазового дела Россия, г. Воронеж, тел.: (473)271-53-62

А. С. Чесноков, канд. техн. наук, доц. кафедры высшей математики

Постановка задачи. При проектировании систем вентиляции производственных помещений с подвижными источникамивредных веществ необходимовыбратьэффективную схемувоздухообмена. Результаты. На основе нестационарного уравнения турбулентного обмена разработана математическая модель переноса вредного вещества в помещении c движущимся источником. Модель реализована в виде программы на компьютере в среде пакета MatLab и Simulink. Установлено, что при движении источников вредного вещества по протяженному помещению в одном направлении наиболее эффективной схемой воздухообмена является схема с движением воздушного потока навстречу источникам; при движении источников вредного вещества в различных направлениях наиболее эффективной является схема воздухообмена с равномерной подачей и удалением воздуха по длине помещения.

Выводы. Предложенный подход позволяет выбрать схему воздухообмена для помещений с движущимися источниками вредных веществ, наиболее эффективно использующую приточный воздух, и повысить эффективность вентиляции.

Ключевые слова: вентиляция, движущийся источник, математическая модель.

Введение. При проектировании систем вентиляции производственных помещений с подвижными источниками вредных веществ (автомобильных тоннелей, цехов с конвейерами и т. п.) встречаются трудности в выборе эффективной схемы воздухообмена вследствие нестационарного характера поля концентрации вредных веществ. Исследование полей концентраций вредных веществ вентилируемых помещений в натурных условиях или на воздушнотепловой модели связано, как правило, с большим объемом трудоемких экспериментов. В данной работе для выбора эффективных схем воздухообмена предлагается использовать математическую модель полей концентраций [5, 11, 12, 16, 22, 23].

1. Математическая модель. Рассмотрим вентилируемое помещение относительно большой протяженности и малых поперечных размеров со стационарным распределением воздушных потоков.

Чтобы рассчитать нестационарное поле концентраций, возникающее в этом помещении при движении источника вредных веществ, необходимо решить систему дифференциальных уравнений, включающую уравнения Навье-Стокса, неразрывности и турбулентного обмена [1, 2, 6, 10, 13, 17]. Решение перечисленных уравнений в общем трехмерном случае связано со значительными трудностями.

Учитывая большую протяженность и малые поперечные размеры помещения, введем допущение, что распределение скоростей воздуха и концентраций вредных веществ однородно по ширине и высоте помещения.

© Кузнецов C. Н., Колосов А. И., Чесноков А. С., 2017

50