Теория автоматического управления. Волков В.Д., Смольянинов А.В

В зависимости от целей автоматической системы и условий ее техниче-

ской реализации наиболее важной является или задача определения структу-

ры, или задача определения параметров.

Обе они связаны с анализом нелинейных систем уравнений высокого порядка. Метод разделения движений позволяет свести рассмотрение систе-

мы высокого порядка к рассмотрению систем более низкого порядка. Поэто-

му применение его для задачи синтеза упрощает необходимые и трудоемкие выкладки.

Кроме того, метод разделения движений позволяет выбирать регуля-

тор, создающий желаемую качественную картину переходного процесса.

Осуществим вначале выбор структуры вычислительного устройства, (ВУ) реализующего задачи управления, для чего будем полагать, что произ-

ведены максимально возможные упрощения уравнений динамики системы и имеются все необходимые идеальные датчики, так, что объект регулирования вместе с исполнительными устройствами описывается системой уравнений

/96/

Тогда задача определения структуры ВУ состоит в определении ска-

лярной функции u(x) при заданных A, B, и F. Пусть элементы матрицы A и

вектора B будут постоянными, но заданными в определенном (иногда до-

вольно большом) диапазоне.

По поводу возмущения F(t) примем, что оно состоит только из δ-

образной (импульсной) функции и медленно меняющейся компоненты. При-

чем будем полагать, что частота повторения импульсов δ -образной и ско-

рость изменения медленной компонент малы по сравнению с временем про-

текания переходного процесса в системе.

511

Сделанные допущения соответствуют обычным условиям применимо-

сти «метода замороженных коэффициентов» и позволяют упростить методи-

ку синтеза. Заметим, кстати, что учет медленной переменности параметров системы не представляет принципиальной трудности в методе разделения движений, поскольку он лишь увеличивает порядок системы медленных

движений.

Кроме того, указанные выше ограничения позволяют выбирать u(x)

так, чтобы в системе (5.122) при F(t)≡0 наблюдался желаемый переходный процесс при отработке начальных условии, а при нулевых начальных усло-

виях (или внутри области устойчивости) и выбранном u(x) происходило бы

«подавление» постоянно действующего возмущения. Действительно, δ-

образная компонента F(t) приводит к мгновенному выбросу изображающей точки x в некоторую (вообще говоря, произвольную, но ограниченную) об-

ласть фазового пространства. При низкой частоте повторения импульсов сис-

тема будет работать удовлетворительно, если она успевает свести «до нуля» возникшее рассогласование при F(t)= const за время между двумя импульса-

ми. Опишем известные способы выбора нелинейного управления u(x), обес-

печивающего указанные свойства для двух типов систем.

Релейные системы. Первым успешным примером применения релей-

ного управления были автопилоты для управляемых снарядов «Фау» /97/.

Позднее их частично вытеснили линейные автопилоты с изменением пара-

метров в функции скоростного напора /96/. Сравнительно недавно интерес к релейным системам снова возрос, поскольку оказалось, что они обеспечива-

ют самонастройку в системах управления.

Простейшее релейное управление для системы (5.122) описывается

формулой (см. (4.7))

m,ci const i (1, ,n). 512

При условии

i 1

всистеме (5.122) возникает скользящий режим на поверхности

i1

Врежиме скольжения, согласно правилу А. Ф. Филиппова /98/, движе-

ние описывается системой

и в значительной степени не зависит от возмущения F(t), матрицы A и векто-

ра B /99/, так как σ(t)= (c,x) ≡ 0.

Проанализируем динамику релейной системы с точки зрения метода разделения движений, которое состоит в том, что система (5.122) при

bi m m;t ;bi max bi , (5.127)

i (1, ,n)

и управлении (5.123) приводится к каноническому виду /96/

где z, d, F(k)(t) - векторы размерности k=nxm; v, e(m), φ(m)(t) имеют размер-

ность m; векторы F(k)(t) и φ(m)(t) определяются каноническим преобразовани-

ем и вектором F(t) /96/:

P, Q, R матрицы, имеющие размерности kxk, mxk, mxm соответственно; v –

велика, то параметр v оказывается малым.

Весьма часто оказывается /96/, что φi(m)(t)=0 для i=(1,…,(m-1)). В этом случае система (5.128) полностью подавляет компоненты φ(m)(t) при условии устойчивости и ограничении

или (что то же самое) при

fi (t) bi M.

Условия устойчивости в малом даются условиями асимптотической ус-

тойчивости скользящего режима, т.е. условиями Рауса-Гурвица для линейной системы

где v1(z) — некоторая линейная форма от z, определяемая условиями

ki 1

qijzj rijvj 0,i (1, ,m 1);

j 1 j 1

m k

civj cm jzj 0. i 1 j 1

514

При этом условия справедливости разделения движений даются «усло-

виями фильтра».

Приведение системы (5.122) к виду (5.128) позволяет выяснить качест-

венную картину переходного процесса в системе при наличии различного рода неидеальностей.

В общем случае релейного управления, анализируя систему (5.128) с

учетом неидеальностей исполнительного устройства, нетрудно установить,

что переходный процесс заканчивается автоколебаниями, пропорциональны-

ми величине Φm (см. п. 4.2.2) и величинам неидеальностей /96/. Поэтому це-

лесообразно в начале переходного процесса иметь величину Φm максималь-

ной и уменьшать ее по мере окончания переходного процесса, например,

пропорционально величине |y(t) |.

Указанные соображения привели к созданию своеобразного гибрида линейных и релейных систем – систем с переменной структурой (см. 4.3.4)

для которых управление в системе имеет вид

где φ(x) - неотрицательная функция x, т. е. φ(x) ≥0 и φ(0)=0.

Системы с каскадно-релейным управлением. Если релейная система или СПС не обеспечивают нужного качества регулирования, то целесообраз-

но форсировать переходный процесс, выбрав u(x) в виде

где φ1, φ2, …, φm - неотрицательные функции x, а коэффициенты k, k1, k2, …, km таковы, что

k k1 k2 km 0,

cij const i (1, ,n); j (1, ,m)

Если, например, φ0(x)= φ1(x)= ... = φm(x)= 1, то алгоритм управления

(5.133) реализуется на каскаде релейных элементов.

При m = n- 2 и возможности замера всех фазовых координат управле-

ние (5.133) можно сконструировать так, что оно с точностью до высокочас-

тотных колебаний организует следующее движение. Изображающая точка попадает на поверхность σ1(x) = 0, скользит по ней до многообразия σ1(x) =

σ2(x) =0, затем двигается по многообразию σ1 = σ2 =0 до пересечения с по-

верхностью σ3=0 и так далее вплоть до попадания на «линию»

1(x) 2(x) n 1(x) 0,

ведущую в начало координат.

Такая картина переходного процесса похожа на качественную картину переходного процесса в оптимальных по быстродей ствию системах. В то же время управление (5.133) выгодно отличается от оптимального большей

«грубостью» и простотой реализации.

Это один из способов организации квазиидеального (с точностью до высокочастотных осцилляции) скользящего режима высокого порядка /99/.

Организация идеального скольжения в управляемых системах часто невоз-

можна, так как для наличия скольжения правая часть дифференциальных уравнений должна быть разрывной, а это приводит к тому, что поверхность скольжения делается разрывной.

В работе /100/ показано, что релейный элемент позволяет поддержи-

вать значение переменного коэффициента усиления объекта примерно посто-

янным. Более поздние исследования показали, что один релейный элемент парирует не более чем десятикратное изменение коэффициента усиления.

Системы с каскадно-релейным ВУ позволяют парировать более чем десяти516

кратное изменение коэффициента усиления.

5.4. Синтез линейных импульсных систем автоматического управления

5.4.1. Основные положения синтеза импульсных систем управления

Дискретные, в том числе импульсные, системы управления образованы взаимодействующими непрерывными (объекты, исполнительные механизмы)

и дискретными (измерительные преобразователи, управляющие устройства)

элементами. Для имитационных исследований таких «смешанных» систем разработаны специальные вычислительные программные средства и алго-

ритмические языки. Для решения задач синтеза обычно используются одно-

родные математические модели систем – непрерывные или дискретные.

Существуют два основных подхода к синтезу импульсных систем. В

том случае, когда период квантования времени мал, расчеты проводятся по непрерывным моделям (см. п. 5.2). При необходимости цифровой реализации полученного непрерывного алгоритма осуществляется его дискретизация

(дискретная аппроксимация непрерывного алгоритма), например, в виде представления дифференциальных уравнения уравнениями в конечных раз-

ностях. Период квантования выбирается из условия сохранения достигнутого при синтезе качества процессов. Если же в постановке задачи синтеза изна-

чально оговаривается цифровая реализация алгоритма управления с необяза-

тельно малым значением периода квантования времени, предусматривается конечная длительность переходных процессов или учитываются другие осо-

бенности дискретных систем, - синтез проводится по дискретным математи-

ческим моделям. В процессе проектирования часто оба подхода реализуются многократно для различных значений периода квантования.

Следует отметить, что этап синтеза по требованиям к установившимся процессам в системе слабо зависит от выбора непрерывной или дискретной модели, так как для медленных движений (низких частот) эффект квантова-

517

ния времени проявляется слабо.

В этой связи, основное внимание при изложении уделено частотным методам синтеза систем управления, поскольку они объединяют особенности дискретных систем с рассмотренными ранее методами синтеза непрерывных систем управления. При этом задача сводится к определению передаточной функции или/и частотной характеристики управляющего устройства (ком-

пенсатора, корректора), при введении которых система обладает заданными свойствами.

Коррекцию импульсных систем (ИС) можно осуществить с помощью различных устройств, которые по своему действию разделяются на непре-

рывные и дискретные.

Непрерывная коррекция импульсной системы сводится к коррекции ее непрерывной части введением последовательных (рис. 5.28, а) или парал-

лельных (рис. 5.28, б) корректирующих устройств, либо введением местной положительной или отрицательной ОС (рис. 5.28, в).

Вариан ты вклю чения непреры вны х корректирую щ и х устройств в ИС

в

Рис. 5.28. ВариантыРивключенияс.3.1 непрерывных корректирующих устройств в ИС

При дискретной коррекции в качестве корректирующего устройства используются цифровые вычислители или импульсные фильтры. Соответст-

вующие структуры ИС показаны на рис. 5.29. 518

Импульсные передаточные функции систем (рис. 5.29) для разомкнуто-

го состояния имеют следующий вид /7/:

при последовательной коррекции (рис. 5.29, а)

при параллельной коррекции (рис. 5.29,б)

в

Рис. 5.29. Включение дискретных корректирующих

Рис.3.2

устройств

Приведенные выражения соответствуют формирующему устройству типа экстраполятора нулевого порядка (фиксатора) с передаточной функцией

H(s) 1 e sT s ,

где Т – период квантования.

Выбор способа дискретной коррекции в каждом отдельном случае на519

правлен на получение наиболее простой реализации дискретного корректи-

рующего устройства.

Важнейшим является этап формализации требований к качеству уста-

новившихся и переходных процессов в виде желаемой передаточной функ-

ции замкнутой или разомкнутой системы. Ясно, что результат здесь не явля-

ется однозначным и представляет собой компромисс между требованиями к процессам и ограничениями в виде динамических свойств объекта, условий реализации алгоритма управления, грубости системы и т.д.

5.4.2. Корневые методы синтеза цифровых систем

Практически любая методика проектирования аналоговых регуляторов имеет свой цифровой аналог. Все, что необходимо – это работать с парамет-

ром z вместо переменной Лапласа s и иметь в виду различные области устой-

чивости замкнутого контура /2/;

непрерывный s<0;

дискретный |z|<1.

Вместе с тем следует отметить, что дискретные системы могут обла-

дать конечным временем переходного процесса (при ступенчатом входном воздействии). Это достигается когда все полюсы замкнутой системы распо-

ложены в точке z=0. /2/

Рассмотрим структуру системы управления приведенную на рис. 5.3,

где объект «О» имеет дискретную передаточную функцию вида

Boqm (z )

Woq(z ) Aoqn (z ),

у которой все полюсы и нули находятся строго внутри области устойчивости,

где Aoqn ( z ) и Boqm ( z ) полиномы в z плоскости степени n и m соответственно

(n>m).

Требуется найти дискретную передаточную функцию регулятора «Р»

520