3676

ВЫПУСК № 1-2 (11-12), 2018

ISSN 2618-7167

многих учащихся большие затруднения.

методов и средств обработки информации

Причина заключается в неумении самостоя-

привели к необходимости массового исполь-

тельно работать с учебником, самостоятель-

зования криптографических средств и поста-

но ставить опыты и решать задачи [1].

новке новых задач защиты информации в

Современный

выпускник

образова-

цифровой форме [3]. Одной из основ совре-

тельного учреждения должен уметь самосто-

менного общества являются стандартизиро-

ятельно мыслить, видеть и творчески решать

ванные коды банков, супермаркетов и дру-

возникающие проблемы

в современном ди-

гих крупных подсистем экономики. Рас-

намично

развивающемся информационном

смотрим эти коды подробнее на примере

пространстве, должен обладать

умениями и

банковских карт, используя математику и

навыками, в первую очередь, исследователь-

компьютерное моделирование.

скими.

Организация

исследовательского

Дебетовые и кредитные карты, факти-

обучения в учреждениях образования явля-

чески определяются набором групп чисел,

ется одной из самых актуальных проблем.

рассчитанных и проверяемых одним и тем

В образовании цель исследовательской

же алгоритмом, основанным на модульной

деятельности заключается не

производстве

арифметике.

новых знаний, а в приобретении учащимися

В криптографии и криптоанализе часто

навыка

исследования

как

универсального

бывает необходимо сложить две последова-

способа освоения действительности. Иссле-

тельности чисел или же вычесть одну из дру-

довательская деятельность студентов должна

гой. Такое сложение и вычитание произво-

развивать способности к исследовательскому

дится, как правило, не с помощью обычных

типу мышления.

арифметических действий, а с помощью

Исследовательские

задания –

это

операций, основанных

на

математической

предъявляемые учащимися задания, содер-

концепции, известной как модульная ариф-

жащие проблему, решение которой требует

метика (modular arithmetic),

или

модульная

проведения теоретического анализа, приме-

система. Эта система получается путем за-

нения одного или нескольких методов науч-

мены каждого целого числа из традиционной

ного исследования, с помощью которых

арифметической системы остатком, образу-

учащиеся открывают ранее неизвестное для

ющимся при делении этого числа на пред-

них знание [2].

определённое значение.

Предопределённое

Межпредметные связи являются важ-

значение называется модулем. Например,

ным условием и результатом комплексного

пусть модуль равен 7, тогда целые значения

подхода в обучении студентов,

включая и

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 будут

преобразованы в

исследовательскую

деятельность. Матема-

значения 0 1 2 3 4 5 6 0 1 2.

тике в этих связях всегда отводится особая

В модульной арифметике сложение и

роль как одной из фундаментальных наук. В

вычитание выполняется относительно мо-

последнее время практически ни одна из

дуля. Все встречающиеся числа заменяют на

наук не обходится

без

информатики.

Так

остатки от деления этих чисел

на модуль.

как математика выступает

своеобразным

Типичными значениями модулей,

использу-

языком экономики и для экономических рас-

емых в криптографии, являются 2, 10 и 26.

чётов используют математическое компью-

Если в остатке получается отрицательное

терное моделирование, то рассмотрим при-

число, то к нему прибавляется значение,

мер исследовательской деятельности студен-

чтобы остаток стал неотрицательным.

тов СПО экономических специальностей,

При сложении по модулю двух число-

используя межпредметные связи

математи-

вых последовательностей

сформулирован-

ки, информатики и экономики.

ные правила сложения применяются к каж-

Бурное развитие информационных тех-

дой паре чисел по отдельности, без «перено-

нологий

и внедрение

автоматизированных

са» на следующую пару.

ВЫПУСК № 1-2 (11-12), 2018

ISSN 2618-7167

Данная формула суммирует числа,

ячейке B20 посчитаем сумму цифр карты,

стоящие в нечётных строках. Аналогично в

стоящих на чётных местах по формуле

и скопируем её в ячейки C4: C18. В ячейке

цифры на нечётных позициях и преобразуем

B21 посчитаем количество цифр,

на

нечёт-

результат к одной цифре.

ных

позициях,

больших

4 по

формуле

2 ∙ 2 = 4,

0 ∙ 2 = 0,

= СУММ(C3: C18).

В ячейке B22 находится

2 ∙ 2 = 4,

0 ∙ 2 = 0,

удвоенная сумма цифр на нечётных местах,

3 ∙ 2 = 6,

9 ∙ 2 = 18

сложенная с суммой цифр на чётных местах

1 + 8 = 9, 1 ∙ 2 = 2,

и с

числом цифр

в нечётных

позициях,

6 ∙ 2 = 12 1 + 2 = 3

больших 4 по

формуле = 2 B19 + B20 +

B21.

В ячейке B24 сделаем деление полу-

Сложим новые цифры на нечётных по-

ченной суммы по модулю 10 по формуле

зициях

4 + 0 + 4 + 0 + 6 + 9 + 2 +

= ОСТАТ(B22; 10).

Остаток от деления ра-

3 = 28.

вен 0, значит карта настоящая.

Сложим

цифры, стоящие на чётных

С помощью

алгоритма Луна можно

позициях

2 + 2 + 0 + 1 + 1 + 2 + x +

также восстановить

цифру,

отсутствующую

8 = 16 + x. Суммируем полученные резуль-

в номере карты. Если неизвестная цифра

таты 28 + 16 + x = 44 + x = 40 + 4 + x. Так

стоит на чётной позиции, то восстановить её

как результат должен делиться на 10, то де-

не составляет трудностей. Пусть, например,

сяти должно быть кратно выражение 4 + x.

в номере 2202 2001 3192 1x68 неизвестна

Из условия 0 ≤ x ≤ 9

следует, что x = 6.

цифра, стоящая на шестнадцатой позиции.

Найдём,

теперь

цифру y в

номере

Согласно алгоритму Луна умножим

на 2

2202 2001 31y2 1668, стоящую на

одинна-

дцатой нечётной позиции.

Сложим

цифры, стоящие на чётных

Аналогично умножим

на 2 цифры,

позициях 2 + 2 + 0 + 1 + 1 + 2 + 6 +

стоящие на нечётных позициях, преобразо-

8 = 22, и полученные цифры на нечётных

вывая результат к одной цифре.

позициях 4 + 0 + 4 + 0 + 6 + 2y + 2 +

2 ∙ 2 = 4,

0 ∙ 2 = 0,

2 ∙ 2 = 4

,

3 = 19 + 2y .

Суммируем полученные ре-

0 ∙ 2 = 0

, 3 ∙ 2 = 6, y ∙ 2 = 2y, 1 ∙ 2

= 2,

зультаты 22 + 19 + 2x = 41 + 2y.

Рис. 1.

Значение 41 + 2y должно быть кратно

Библиографический список

10. Запишем его в виде 40 + 1 + 2y. Сумма

1.

Усова А.В. Формирование учебно-

будет кратна 10, если выражение 1 + 2y бу-

познавательных умений у учащихся в про-

дет делиться на 10. Это выражение является

цессе

изучения предметов

естественного

нечётным числом, поэтому на 10 не делится.

цикла:

Пособие для студентов. Челябинск:

Значит,

2y есть не цифра,

а двузначное чис-

Изд-во ЧГПУ, 2002.

ло, т. е.,

2y ≥ 10, y ≥ 5.

Поэтому по алго-

2.

Андреев В.И. Диалектика воспита-

ритму Луна нужно из полученного произве-

ния и самовоспитания творческой личности.

дения 2y после умножения цифры y на 2 ,

– Казань: Изд-во КГУ, 1988. –

238 с.

вычесть 9, т. е., при суммировании удвоен-

3.

Минеев М. П., Чубариков В. Н. Лек-

ных цифр, стоящих на нечётных позициях,

ции по арифметическим вопросам криптогра-

нужно в качестве слагаемого использовать

фии. — М.: Изд-во «Попечительский совет

не 2y, а 2y − 9 . Тогда сумма будет

равна

Механико-математического факультета МГУ

2y − 9 + 41 = 2y + 32 = 2y + 2 + 30 .

Это

им. М.В.Ломоносова», 2010 — 186 с.

выражение будет делиться на 10, если на 10

4.

Мир математики в 40 т. Т. 2: Жуан

делится

сумма 2y + 2 , где 5 ≤ y ≤ 9. Это

Гомес. Математика, шпионы и хакеры. Ко-

условие выполняется при y = 9. Значит циф-

дирование и криптография./ Пер. с англ. -

ра, стоящая на 11 позиции, равна 9.

М.: Де Агостини, 2014. - 144 с.

ВЫПУСК № 1-2 (11-12), 2018

ISSN 2618-7167