3340

УДК 621. 313. 323

К. Е. Кононенко РАСЧЕТ ПОВЕДЕНИЯ СИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

С ПОСТОЯННЫМИ МАГНИТАМИ НА ГРАНИЦЕ УСТОЙЧИВОЙ РАБОТЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ

С ЭЛЕМЕНТАМИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ

Рассматривается поведение трехфазного синхронного двигателя на границе автоколебательной неустойчивости. Методом численного интегрирования оценивается затухание возмущенного режима работы. С учетом длительности и монотонности рассматриваемого процесса применена функция прогнозирования, что позволило в несколько раз сократить время расчетов.

Систему дифференциальных уравнений для трехфазного синхронного двигателя с постоянными магнитами (СД) при работе от регулируемого источника напряжения можно представить в виде, удобном для математического моделирования [1]:

Уравнения для полных потокосцеплений обмоток, входящих в (1) в системе относительных единиц имеют вид:

Рассмотрим процесс асинхронного пуска СД на конкретном примере, взяв за базовые параметры СД мощностью 4 кВт, выраженные в системе относительных единиц [2].

Одной из основных варьируемых переменных в этом случае является начальное положение ротора. В качестве примера рассмотрим работу на границ автоколебательной устойчивости синхронного двигателя, имеющего следующие параметры: r = 0.06; ryd = ryq = 0.2; xd = 0.7; xad = 0.6; xq = 1.6; xaq = 1.5;

H = 28; km = 0.1; ε = 0.7.

Устойчивость трехфазных синхронных двигателей определялась по результатам решения исходных нелинейных систем дифференциальных уравнений, описывающих их работу. Путем плавного перемещения рабочей точки СД в рассматриваемой плоскости параметров можно также определить границы устойчивой работы. Однако объем вычислений, требуемый, чтобы определить границы устойчивости при решении нелинейной задачи, несоизмеримо больший. Оценить же поведение СД на границе и в области неустойчивой работы оказывается возможным только решением задачи в нелинейной постановке. Результаты таких расчетов позволили составить представление о границе устойчивости и сравнить точность ее нахождения методом Рауса и методом Рунге – Кутта.

В результате сравнения оказалось: границы устойчивости, найденные методом непосредственного интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений и полученные с использованием критерия устойчивости Рауса, совпадают. Границы устойчивости характеризуются столь малыми колебаниями

93

переменных, входящих в исходные уравнения, что порядок отбрасываемых членов при выводе уравнений первого приближения соизмерим с бесконечно малыми величинами второго порядка малости.

Расчеты, выполняемые при отыскании границ устойчивой работы СД в смысле Ляпунова, дали информацию непосредственно о тех процессах, которые протекают на границе устойчивости и в ее непосредственной близости.

Проведенные расчеты позволяют уточнить и расширить представление о границе устойчивой работы.

Границей устойчивой работы (самораскачивания) мы будем называть геометрическое место точек графика, выполненного в декартовой системе координат, определяющих величины ординат

(M ) при фиксированном значении абсцисс ( , i f 0 , r) , в которых колебания переменных,

описывающих работу синхронного двигателя, с течением времени не возрастают. Установившиеся значения амплитуд этих колебаний стремятся к величинам бесконечно малым, а в пределе к нулю.

Определенная таким образом граница обладает следующими четырьмя основными свойствами.

1. На самой границе устойчивости в идеализированной синхронной машине, если точно определены начальные условия, характеризующие установившийся режим работы, колебания переменных отсутствуют.

Под точным определением начальных условий мы будем понимать семь значащих цифр после запятой. Это подтверждено многократно проведенными расчетами в системе относительных единиц. Если значение границы устойчивости определено точно, то в этом случае режим работы синхронной машины будет установившимся. Если точность определения начальных условий будет меньшей, то возникнут колебания переменных. Их начальная амплитуда будет определяться погрешностью определения начальных условий.

2. Затухание колебаний, возникших на границе устойчивости, происходит крайне медленно. Демпфирующие свойства синхронной машины на границе устойчивость существенно ослаблены.

В качестве примера, вернемся к рассмотрению СД с постоянными магнитами, работающему на границе устойчивости. Точно определенные начальные условия обеспечивают устойчивый режим работы. Дадим в этом положении углу нагрузки начальное возмущение 2.866 градусов (0.05 рад.). Возникшие колебания начнут затухать, как это показано на рис. 1.

Рис. 1. Затухание колебаний угла нагрузки СД с постоянными магнитами, работающего на границе устойчивости

Процесс затухания колебаний на рис. 1 представлен в реальном масштабе времени. За время, чуть большее четверти часа, колебания угла нагрузки в СД с постоянными магнитами уменьшатся от начального значения 2.866 градусов до 0.4 градусов. По сравнению с нестабильностью вращения

94

реальных СД, работающих устойчиво, эта величина все еще является большой (в 10 раз больше средней нестабильности вращения). С учетом того, что степень затухания колебательного процесса начинает замедляться, нужно увеличить длительность расчетов примерно в семь раз, чтобы получить значения амплитуды колебаний угла нагрузки, соизмеримых с реальными значениями устойчиво работающих СД.

Сложность выполнения таких расчетов состоит в том, что данные рис. 1 были рассчитаны на персональном компьютере с процессором «Пентиум – 100» за 55 минут. Таким образом, требуется около четырех часов непрерывных расчетов. Упростить задачу возможно, заметив некоторую особенность графика рис. 1: начиная со времени больше 9 минут характер уменьшения амплитуды колебаний становится плавным. Применим метод прогноза [3] и спрогнозируем поведение колебательного процесса на требуемое время. Полученные прогнозированием результаты показаны точками на рис. 2.

Рис. 2. Прогнозирование затухания колебаний СД с постоянными

,град.

Суммарное время, в течение которого рассматривался процесс затухания колебаний, составило около 55 минут. Амплитуда колебаний угла нагрузки все еще больше 6 мин., то есть находится на уровне СД с недостаточно хорошими данными нестабильности мгновенной частоты вращения.

3.Граница устойчивости достаточно узка.

Действительно, можно заметить, вернувшись к уже имеющимся данным, что в то время, когда границе устойчивости соответствует величина момента нагрузки 0.7665 о.е., величине 0.767 соответствует затухающий колебательный процесс, а величине 0.766 – процесс возрастания колебаний. Разница между областью устойчивой работы и областью самораскачивания < 0.1 %.

Как правило, на практике при испытаниях СД малой мощности используются нагрузочные устройства, класс точности которых не превышает 2.5 %. Поэтому вероятность того, что в результате экспериментальных исследований можно попасть на границу устойчивости составляет менее 4 %.

4. При переходе границы устойчивости в область самораскачивания амплитуда колебаний резко возрастает от 0 до 6 – 11 градусов. При этом возможны два варианта развития колебаний: может возникнуть режим устойчивых автоколебаний или амплитуда колебаний возрастет настолько, что произойдет выпадение синхронной машины из синхронизма с сетью. В любом из этих случаев нормальная работа синхронной машины становится невозможной.

Таким образом, проведенные расчеты дают возможность точно

95

определить границы автоколебательной неустойчивости и рассчитать при этом характер поведения синхронной машины с постоянными магнитами.

Используя комбинированный метод численного интегрирования с элементами математического прогнозирования, оказывается возможным значительно сократить время расчетов, не проигрывая в точности получаемых результатов.

Литература

1.Кононенко К.Е. Устойчивость работы синхронных двигателей малой мощности / К.Е. Кононенко, А.И. Шиянов Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2000. 181 с.

2.Сипайлов Г.А. Электрические машины (специальный курс) / Г.А. Сипайлов, Е.В. Кононенко, К.А. Хорьков М.: Высшая школа, 1987. 287 с.

3.Дьяконов В.П., Mathcad 7 в математике, физике и в Internet / В.П.

Дьяконов, И.В. Абраменкова М.: Нолидж, 1998. 345 с.

96

Таблица 2

Характеристики нагрузочных узлов

Суммарные потери для каждого режима складываются из потерь в транс-форматорах и потерь в проводах. Потери в трансформаторах соответственно для линий А и В:

Для определения потерь мощности на участках линии необходимо знать мощности в узлах. Для нагрузочных узлов

Потери мощности на участке между узлами i и j (направление потока мощности от i к j ) при известной мощности в узле j

Тогда для узла i :

98

доля потерь в трансформаторах увеличивается по сравнению с потерями в проводах. Таким образом, для каждой конфигурации можно определить какие потери являются определяющими в данном режиме.

Рассчитаем координату размещения центра нагрузок по длине линии. Отсчет будем проводить от точки А.

В данном выражении Sni - мощность, подключенная к i - му магистральному узлу, хi - расстояние от точки А до i - го узла. Полученное таким образом место нахождения центра нагрузок попадает на участок 10-12, что совпадает с оптимальным местом размещения разъединителя. Следует отметить, что такой простой способ для определения места размыкания применим к линиям магистрального типа. Для разветвленных линий результаты, полученные по последней формуле и по изложенной выше методике, могут оказаться различными.

100

УДК 621.313.292

С. А. Винокуров, О. А. Булыгина

КОМПЕНСАЦИЯ ЗАПАЗДЫВАНИЯ В ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С БЕСКОНТАКТНЫМ ДВИГАТЕЛЕМ ПОСТОЯННОГО ТОКА

В работе анализируется и рассматривается решение проблемы компенсации влияния запаздывания в электромеханических системах с бесконтактным двигателем постоянного тока посредством формирования стабилизирующих управляющих функций

Электромеханические системы (ЭМС) с бесконтактными двигателями постоянного тока (БДПТ) содержат запаздывающие звенья,

которые могут располагаться как в прямом канале, так и в каналах обратных связей. При этом запаздывание прохождения сигналов, возникающее в ЭМС с БДПТ, может привести к различного рода искажениям, вплоть до возникновения неустойчивых режимов, а также к качественному изменению переходных процессов системы.

При рассмотрении ЭМС с БДПТ с позиции системной методологии, то есть в виде совокупности однородных и идентичных подсистем,

замкнутых позиционными обратными связями, циклически работающими на одну нагрузку [1,2], могут возникать дополнительные трудности, обусловленные возможностью накопления систематических ошибок и погрешностей. Особую актуальность данная проблема приобретает при возникновении запаздывания в каналах позиционных обратных связей.

В этой связи при анализе и синтезе данного класса объектов возникает необходимость точного описания происходящих в системе

процессов с учетом действующих запаздываний с целью их последующей компенсации и устранения негативного влияния на качество происходящих процессов и работоспособность всей системы.

С учетом существующего подхода к оценке и компенсации запаздывания [3] будем определять величину запаздывания в ЭМС с БДПТ τ как сумму запаздываний, возникающих в датчике положения ротора, при

снятии сигнала обратной связи или в микропроцессоре. Величина запаздывания в процессе функционирования ЭМС с БДПТ не является постоянной и зависит от состояния системы, ее конструктивных особенностей и воздействий внешней среды. В реальных системах (например, в автоматизированных электроприводах с БДПТ) время запаздывания можно регулировать посредством изменения угла υ0 как в

101

процессе настройки, так и в процессе управления. Если отсчет действующего в ЭМС с БДПТ запаздывания вести от первой фазы, то τ следует рассматривать в функции от сигнального сектора ротора двигателя. Для второй фазы запаздывание зависит от частоты вращения ротора и фактически будет равно промежутку времени, за который ротор

вэтом случае окажется в зоне действия сигнального сектора. Запаздывание

втретьей фазе определяется аналогично, но с учетом величины

запаздывания от второй фазы.

Отсюда можно сделать вывод, что в ЭМС с БДПТ величина запаздывания определяется также временем прохождения ротором

двигателя угла υ.

При этом по сигналу задания, определяющему выходную координату системы (частоту вращения), с использованием микропроцессора можно сформировать сигнал γ(t), обеспечивающий оптимальный режим работы

двигателя при номинальных значениях:

где Umax – максимальное значение питающего напряжения, СМ – коэффициент двигателя, αК – угол коммутации, Θ – угол между полем ротора и статора, МН – момент нагрузки, R – активное сопротивление двигателя, ω3 – частота задания, Се – коэффициент противоэдс.

Уравнения, описывающие рабочие процессы за один период коммутации в замкнутой ЭМС с БДПТ с запаздыванием τ, создаваемым микропроцессором системы управления, представим в следующем виде:

где J – момент инерции двигателя, ω – угловая частота вращения, i – рабочий ток, L – индуктивность двигателя, U – напряжение питания, КП , КИ – коэффициенты П и И регуляторов, γ – масштабированный сигнал задания. Для упрощения расчета примем запаздывание за величину постоянную, равную некоторому среднему на интервале значению.

Для данного случая выходная координата ω системы стремится к заданному значению ω3 и регулирование начинается при сравнительно

небольших отклонениях. Следует отметить, что при синтезе реверсивных ЭМС с БДПТ возникают сложности реализации, связанные с

102