Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

3340

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

4.32 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Время tср подзарядки емкости С2 до напряжения уставки определяется по формуле:

Т ln

TC2

t ср

0,47

Из выражения видно, что время срабатывания реле зависит не от емкостей С1 и С2, а от их отношений –m. Поэтому рассмотренное реле времени имеет преимущество перед реле RC-контура, т.к. в него можно включать малостабильные конденсаторы, если их отклонение в процентном выражении (в зависимости от окружающих условий) одинаковы.

Из последней формулы также следует, что время срабатывания реле обратно пропорционально частоте f= 1 работы ключа.

Данная схема может быть применены, во-первых, когда необходимо одновременное управление постоянной времени по двум независимым друг от друга входам: частотой переменного напряжения и постоянным напряжением, во-вторых, когда нагрузкой является статический электронный переключатель, при помощи которого с некоторой постоянной времени в зависимости от знака постоянного напряжения на входе схемы можно изменять положение схемы, в-третьих, когда в системе уже имеется переменное напряжение в функции чего-либо.

Получено 10.06.01	Воронежский государственный
	технический университет

133

УДК 621. 313. 333

А. Н. Анненков, В. В. Орлов

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ АСИНХРОНОГО ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО ДВИГАТЕЛЯ С ПЕРФОРИРОВАННЫМ РОТОРОМ

Получено аналитическое решение для распределения плотности вихревых токов в гильзе полого ротора асинхронного исполнительного двигателя и определено рациональное соотношение между длиной вылета гильзы ротора и длиной окон в его торцевых частях.

Сложность математической модели двигателя с перфорированным полым ротором обусловлена растеканием вихревых токов в материале гильзы ротора. При анализе распределения плотности тока в полом роторе все электрические постоянные и геометрические размеры, входящие в расчет, являются известными величинами. Произвольно заданными постоянными являются первичные токи и частота вращения ротора.

С целью упрощения дальнейшего анализа кроме общепринятых введѐм следующие допущения: Магнитные проницаемости всех ферромагнитных сред принимаем бесконечно большими.

Гильза имеет чисто активную электрическую проводимость Э.

3. Влиянием перфорации в гильзе ротора на распределение плотности тока в его материале на первом этапе расчѐта пренебрегаем.

На рис. 1 показано распределение напряженности магнитного поля от первичных токов Н1 в модели двигателя с полым ротором. На рис. 2 приведена схема развертки ротора, на которой изображен элементарный участок, соответствующий шагу дискретности модели. Участок разбит на три области.

Область I соответствует расчетной длине L статора. Ось Х делит область I пополам. Области II, Ш соответствуют вылетам гильзы длиной L за пределы L. Полагаем, что для i-го участка длины вылетов

II, Ш равны. На основании принятых допущений магнитная цепь линейна. В области I применим принцип наложения.

Напряженность магнитного поля H1 в некоторой точке (x, y) i-го участка вычисляется как


	H1	H1,i	HЭ, i ,	(1)

где HЭ,i	- напряженность, определяемая токами элементарного участка гильзы.
На участке, соответствующем шагу дискретности модели, выделим элементарную площадку				x,

y и рассмотрим трубку по контуру элементарной площадки. На рис. 3 показана элементарная площадка, размер которой в направлении вдоль оси Х равен размеру i-го участка гильзы, соответствующего шагу дискретности модели. На рис. 4 представлено распределение напряженности поля вдоль трубки по контуру элементарной площадки.

Hz	H1,i+1

	H1,i

	H1,i-1
Рис. 1. Распределение напряженности поля от первичных токов:			X
	1 - статор, 2 - ротор		X
tz i	tz i+1	1
		1

134

Y L 2
L 2	b

	y
I	X
I	t Z
X	t Z

III

Рис. 2. Схема развертки ротора

	Для удобства дальнейшего анализа в соответствии с рис. 1 - 4, на которых представлены
фрагменты развертки расчетного зазора машины, перейдем от угловой скорости ротора				2	к его
				2
линейной скорости V2 пропорционально волновому числу		:
	2		V2 ,		(2)
где	/ ;
	- полюсное деление.
		3

		2

				.
				dx	HZi
			HZi	dx	x
	dy	HZi			x
HZi	dy	y
		y
					1
dy			dx
dy

Z	i -го участка модели:
Рис.3. Элементарная площадка

1 - индуктор статора, 2 - ротор, 3 - обратныйX магнитопровод статора

135

На основании первого уравнения Максвелла, падение напряжения от токов ix ,iy в трубке по

контуру площадки, изображенной на рис.4, уравновешивается ЭДС трансформации и движения, получаем уравнение Кирхгофа

iy	ix
x	y	j	1 0 Э H1	V2 0 Э H1	/ x ,	(3)
x	y

где 1 2 f1 ;

0 - магнитная постоянная.

На основании закона полного тока для элементарной площадки, изображенной на рис. 3, справедливы следующие уравнения:


HЭ1,i			iy	,
x

HЭ1
		ix ,
				(4)
y

k ( 0	),

где k - коэффициент Картера при односторонней зубчатости; - толщина экрана; 0 - конструктивный зазор.

iy	iy	x iy /	x
Y
		ix	y ix / y

		Hi	x Hi x
Hi
Hi
			ix
			ix
	X		V
	X
		t Z	X

Рис. 4. Распределение напряженности поля вдоль трубки по контуру элементарной площадки

Для всех областей участка, изображенного на рис. 2, справедлив закон непрерывности тока

divi iy y ix x 0. (5)

	0, справедливо уравнение
На основании (3) для областей II,III , где принято H i

136

y 0.

(6)

Преобразуем (3) с учетом (1), (4), (5). Переходя к конечным разностям по координате Х для

области I, окончательно получаем

2 i

(7)

1,i

где k1

0 (1- S)

/ ;

ЭV2 /

;

0 /

;

C1,i

(H1,i 1

H1,i 1) (

0 (1- S)

+ j2t z

0 ) / (4tz )

Параметр

представляет собой записанное для двигателя с полым ротором магнитное число

Рейнольдса.

Для решения (7) определим неизвестную функцию iy

следующим образом /1/:

Zk1 x / 2

(8)

После замены iy в соответствии с (8) уравнение (7) приводится к виду

2 Z

2 k 2 / 4

e k1 x / 2 .

(9)

x 2

1,i

Общее решение уравнения (9) с правой частью есть сумма частного решения уравнения (9) и общего решения однородного уравнения,

полученного на основании (9), при этом в соответствии с /2/ частное решение уравнения (9) определяется следующим выражением:

Z	0	C e k1 x / 2	/ k	2 .	(10)
	0	1,i		2

Определим неизвестную функцию Z(x,y) следующим образом:

Z X x Y y ,

(11)

где X x - функция только переменной x;

Y y - функция только переменной y.

После подстановки (11) в уравнение (9) без правой части получаем

2 X x

2 Y y

2 k 2

/ 4

0 .

(12)

X x

x 2

Y y

Первые два члена уравнения (12) зависят соответственно только от x и y. Следовательно,

единственная возможность удовлетворить уравнению (11) - положить

2 X x / x 2

m2 X x 0,

137

2 Y y / y2 n 2 Y y 0.

(13)

В уравнениях (13) постоянные m, n - произвольные вещественные или комплексные числа, связанные (смотри /1/) следующим соотношением:

2 k12 / 4 k2 .

(14)

Постоянные m, n определяют такое конкретное решение, которое удовлетворяет граничным условиям, заданным в виде значений функций ix ,iy (задача Дирихле) на границах соответствующих

областей участка гильзы. Для участка, соответствующего шагу дискретности модели, в рабочем зазоре имеют место следующие граничные условия:

1.	За пределами гильзы ротора		Э	0, то есть
			Э
	y	L / 2,	iy	0 .			(15)
2.	Функции ix ,iy являются непрерывными, то есть
	y	L / 2,	iyI	iyII ,	ixI	ixII .	(16)

3. Распределение тока в однородной изотропной области I симметрично относительно оси Х, при этом касательные линии токов в точках y = 0 являются прямыми, параллельными оси Y, то есть

y 0, ixI 0. (17) 4. Дифференциальное уравнение линий тока определяет на поверхности элементарного участка

ротора семейство кривых, которые ни в одной точке не пересекаются с вектором плотности тока

y / x iy / ix.	(18)
На основании (17) выражение (2.18) при y = 0 стремится к	, что согласуется с выводами,

изложенными в /3, 4/, касающимися распределения плотности вихревых токов в пределах полюсного деления гладкого ротора.

Единственная возможность удовлетворить (15), (16) - положить

2 k12 / 4.

(19)

С учетом (14), (19) общее решение однородного уравнения (12)

имеет следующий вид:

e k1x / 2

k1x / 2

k 2 y

k 2 y .

Z C

(20)

На основании (8), (10), (20) получаем

k x

C1i

e 1

(21)

k 2

Подставив выражение (21) в (5), получаем

ixI

k2 / k1C1X e k1x

x C2 X

C1Y e k2 y

C2 Y e k2 y .

(22)

После преобразований (6) с учетом (5) для II,III областей получаем

138

2 /

x 2

2 /

yII

x, y

0 .

(23)

Введем следующие обозначения:

iyI

f1 x,y

C0 ;

(24)

x, y

e k1x

e k 2

k 2

;

(25)

C2X

C1Y e

k 2

C2Y e

k 2

;

(26)

0,i

;

(27)

1,i

iXI

f2 x, y

x, y ;

(28)

k 2

x, y

e k1x C

e k2

k 2 y ;

(29)

x, y

x C2X

k 2

C1Y e

C2Y e

;

(30)

1 y

L / 2

K1 ;

(31)

x, y

L / 2

(32)

На основании (21), (22) с учетом (31), (32) получаем

C e k2 L/ 2

L/ 2

(33)

2 X

L/ 2

k2 L/ 2 .

(34)

Сучетом граничных условий (15), (16) общее решение уравнения

(23)имеет следующий вид:

где 3

yII

k1x C

e k1x C

e j k1y

y ,

(35)

y L / 2 K1 C0,i ; y L/ 2 0.

Обозначим

x,y

C e k1X

2 X

k1X C

ej k1Y

e j k1Y .

(36)

На основании (24), (28), (35) с учетом (5), (16), а также (26), (30), (31)

- (34) получаем:

3 y / y

K2 .

(37)

На основании (37) и выражений для

3 y

L / 2 ,

3 y

L / 2 в уравнении (35)

определим функцию

3 y :

139

3 y K1 C0,i L 2y / L L .

(38)

На основании (22) с учетом (17) получаем

C1Y C2Y .

(39)

На основании (37) с учетом (38), а также (27), (33), (34), (39) получаем

C				C1,i			, (40)
		2

	k 2		L L k 2	sh k 2	L / 2 2ch k 2	L / 2

где C C2 X C2Y .

Выражения (24), (28), (35) с учетом граничных условий (15) - (17) определяют, что (24), (30) и (36) тождественно равны нулю. На основании изложенного из (24), (28), (35) с учетом (26), (27), (30), (33), (38) - (40) получаем окончательное выражение для составляющих плотности токов в

соответствующих областях i-го участка гильзы ротора

		i yI	C1,i ch		k 2	y	ch	B sh	,	(41)
		i yI	k	2		ch		B sh	,	(41)
				2
где	k2 L / 2;

k2 L L / 2.

i XI

C1,i

x sh k 2

;

(42)

k 2

B sh

iYII

C1,i sh

L / 2

(43)

k 2

B sh

На основании (43), (5) для iXII

получаем следующее выражение:

iXII

C1,i

x sh

(44)

k 2

B sh

На основании (41) - (44) закон распределения плотности вихревых токов на участке ротора, соответствующем шагу дискретности,

определяется функционалом, зависящим от конструктивных параметров машины, физических характеристик материала ротора, а также значениями напряженности магнитного поля от первичных токов и частотой вихревых токов в роторе.

Одной из задач, имеющих важное практическое значение, является определение длины окон в материале гильзы перфорированного полого ротора, выполненных с обоих его торцов, а также координат этих окон

относительно пакета статора. Другой важной задачей является поиск

140

рационального соотношения между длиной вылета гильзы ротора и длиной окон в его торцевых частях.

Приравняв выражения (41) и (42) получаем следующее уравнение относительно y:

cos j

x sin (j

y ) = ch

(45)

Введем следующие обозначения

A sin

sin

b cos

;

b2 ;

arctg a

a = 1;

Полагаем y / ÷ t. Тогда

;

arctg (

;

. 2

После подстановки и соответствующих преобразований получаем

2 sin j

arctg

arcsin

arctg(

j k2 x)

y =

jk2

(46)

В инженерной практике необходимо применять достаточно простые выражения, связывающие конструктивные размеры электрической

машины, которые позволяют с достаточной степенью точности определять их значения. Также необходимо стремиться к тому, чтобы физический смысл используемых соотношений был предельно ясен.

Руководствуясь сказанным выше, упростим выражение (46). На основании (30) параметр х в (42) - (46) соответствует шагу дискретности по оси Х в модели. Если шаг стремится к нулю (Δ х → 0) и

вылет ротора за пределы расчетной длины статора достаточно мал (

L - L

→ ξ), то выполняются

следующие предельные соотношения

2 x2 → 1, arctg(

x→ 0 => 1

x)→ 0;

(47)

L - L

L 2

→ ξ =>

→ 0 => 1 k 2

→ 1.

С учетом (47) получаем

141

									L - L
	L	1			j			k 2	L - L

y =				arcsin					2			.
									2
	2 j
	2 j	k 2	1			k	2			L - L	2
			1			k	2		2
									2
											(48)
На основании (47) знаменатель		аргумента обратной тригонометрической								функции	в (48)

стремится к 1.

	L - L			L - L
Если		→ ξ , то j k2			→ σ,

			2
	2

где σ - достаточно малая величина.

			L - L
arcsin j k	2		L - L

		2
		2
Окончательно получаем

		L - L
→ j k2		L - L	.

	2
	2

				y = L			L
								.
							2	.
Рассмотрим интервал y	y		L	. Для всех y из этого интервала i					i		.
Рассмотрим интервал y	y			. Для всех y из этого интервала i					i	y1	.
		2						x1		y1
		2
Таким образом, определена часть области 1, где преобладают составляющие тока вдоль оси Х.
Данная часть области 1 выполняет функции лобовых частей ротора. Ее аксиальный размер
		L 0		L	y	= L - L .
				2		2

В системе принятых здесь допущений оказывается, что длина окна равна длине вылета ротора за пределы расчетной длины статора. Окна в роторе выполняются с обоих торцов в аксиальном

направлении от края пакета статора в пределах его активной длины на величину L 0 . Число окон Z 0 целесообразно выбирать достаточно близким к числу зубцов статора, Z 0 < Z 1. Ширина окна b 0 зависит в основном от технологических факторов и принимается порядка (0,4÷0,6) мм (т.е. выбирается минимально возможной).

Литература

1.Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров: Пер. с франц. - М.: ГИФМлит., 1967. - 780 с.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.- М.: Наука, 1977.-

832 с.

3.Вевюрко И.А. К расчету характеристик двухфазной индукционной машины с полым ротором // ВЭП.- 1957. № 6.- С. 34-39.

4.Анненков А.Н., Буйлин О.Д., Шиянов А.И. К учету распределения плотности токов в токопроводящей оболочке ротора

142

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1512 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.20224.3 Mб03332.pdf
#
15.11.20224.3 Mб33334.pdf
#
15.11.20224.31 Mб53335.pdf
#
15.11.20224.31 Mб13336.pdf
#
15.11.20224.32 Mб13339.pdf
#
15.11.20224.32 Mб03340.pdf
#
15.11.20224.33 Mб43342.pdf
#
15.11.20224.34 Mб53343.pdf
#
15.11.20224.34 Mб23344.pdf
#
15.11.20224.34 Mб23345.pdf
#
15.11.20224.34 Mб253346.pdf