3172

Решения этой системы уравнений являются стационарными точками функции f(P).

Пример 1. В прямоугольной системе координат заданы n точек A1 (x1 , y1 , z1 ) , A2 (x2 , y2 , z2 ) , …, An (xn , yn , zn ) . Найти точку, сумма квадратов расстояний которой от всех данных точек была бы наименьшей.

Решение. Пусть М(x,y,z) – искомая точка. Найдем стационарные точки функции

является единственной стационарной точкой функции f (x, y) . По смыслу задачи эта точка является точкой минимума.

В общем случае найденные стационарные точки нужно ещѐ исследовать с помощью достаточных условий.

13

Достаточные условия безусловного локального экстремума

связаны с изучением знака второго дифференциала искомой функции. Сформулируем их для функции двух переменных.

Пусть P(x10 , x20 ) - стационарная точка функции u = f(x1,x2), и эта функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки P0 (x10 , x20 ) . Введем следующие обозначения

AB

BC .

Тогда:

1) если Δ>0, то функция u = f(x1,x2) имеет экстремум в точке P0 (x10 , x20 ) , а именно: максимум, если A<0, и минимум, если

A>0;

2)если Δ<0, то экстремума в точке P0 (x10 , x20 ) нет;

3)если Δ=0, то требуется дальнейшее исследование. Пример 2. Найти экстремумы функции

Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1.2.1):

14

и составим дискриминант = 4 / ab. Тогда, согласно достаточным условиям экстремума, имеем:

1)если a > 0, b > 0, то > 0, и функция u(x1,x2) имеет в точке Р0(0,0) минимум;

2)если a < 0, b < 0, то > 0 и функция u(x1,x2) имеет в точке Р0(0,0) максимум;

3)если a > 0, b < 0 или a < 0, b > 0, то и экстремума нет. Отметим, что поверхность

в первом и втором случае является эллиптическим параболоидом, а в третьем случае – гиперболическим параболоидом. В третьем случае точка Р0(0,0) является стационарной точкой типа «седло».

Условный экстремум. Рассмотрим частный случай задач на отыскание экстремальных значений функции

u = f(x1,x2, … ,xn)

на заданном множестве G точек n – мерного пространства.

Пусть необходимо найти точки условного локального экстремума функции

Уравнение связи (1.2.3) в данном случае есть уравнение поверхности в пространстве R3 (т.е. множество G – поверхность).

Точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) G называют точкой условного

локального максимума (минимума) функции (1.2.2), если существует такая окрестность точки М0, что для всех точек Мi этой окрестности (Мi М0), удовлетворяющих уравнению связи (1.2.3), выполняется неравенство

15

Чтобы найти условный локальный экстремум функции (1.2.2) при условии (1.2.3), составляют функцию Лагранжа

экстремум. Необходимые условия условного локального экстремума сводятся к системе четырех уравнений

L

(x1 , x2 , x3 ) 0.

Из этой системы находят неизвестные x1, x2 , x3 , , где x1 , x2 , x3 -

координаты точки, в которой возможен условный экстремум. Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением

знака второго дифференциала d 2 L для каждой «подозрительной» точки, если

Пример 3. Найти условные экстремумы функции

u x12 x22 x32

при условии, что

x1 x2 x3 1 .

Решение. Первый способ. Из уравнения связи найдем x3 1 x1 x2

16

и результат подставим в функцию u. Получим

Ищем обычные экстремумы этой функции двух переменных:

условии, что

x1 x2 x3 1 .

Второй способ. Составим функцию Лагранжа.

Система (1.2.6) примет вид

Решая эту систему, найдем

17

Ответ: из геометрического смысла задачи ясно, что в точке

Р0 (13 , 13 , 13) данная функция имеет условный минимум.

Глобальные экстремумы дифференцируемой в ограниченной замкнутой области функции u=f(x1,x2,…,xn) достигаются или в стационарной или в граничной точках.

Пример 4. Найти глобальные экстремумы функции z x2 y2 xy x y

Отсюда х0= - 1, у0= - 1, т.е. М0 ( - 1; - 1) – единственная стационарная точка, а z(M0)= - 1. Исследование на экстремум не обязательно.

Исследуем функцию на границах области. При х=0 имеем функцию одной переменной z = y2+y, и задача сводится к отысканию глобальных экстремумов этой функции z на отрезке

При х + у = - 3 имеем

18

Сопоставляя все полученные значения функции z, находим наибольшее значение zmax=6 достигается в граничных точках (0;-3) и (-3;0); наименьшее значение достигается в стационарной точке М0 ( - 1; - 1) и равно Zmin = - 1.

Задачи для самостоятельного решения

1.2.1. Найти экстремумы функции:

a) u = x2 - xy + y2 - 2x +y;

д) z = 2 - xy - 4x - 2y;

е) z = x3 + 8y3 - 6xy + 1;

ж) z = 3x2 - 2x y + y - 8x + 8; з) z = x2 - xy + y2 + 9x - 6y + 20;

и) z = yx - y2 - x + 6y;

к) z = 3xy - x2 y - xy2 .

1.2.2.Найти экстремумы функций трех переменных:

в) u = x - y2z3 ( 1 - x - 2y - 3z ), (x > 0, y > 0, z > 0).

1.2.3.Найти экстремум функции z x 2y

19

1.2.19.Представить положительное число а в виде произведения четырех положительных сомножителей так, чтобы сумма их обратных величин была наименьшей.

1.2.20.Найти оси эллипса

5x2 8xy 5 y2 9 .

1.2.21.Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма длин катетов равна заданному числу (задача Ферма).

1.2.22.Решить задачу о полиноме Лежандра второй степени:

1

1

1.2.23. Решить задачу о полиноме Лежандра третьей степени:

1

1

1.2.24. Среди всех дискретных случайных величин, принимающих n значений, найти случайную величину с наибольшей энтропией H. Энтропией совокупности положительных чисел р1, р2,…,рn, в сумме равных единице, называется число

n

Hpi ln pi .

i1

1.2.25.Среди цилиндров, вписанных в шар единичного радиуса, найти цилиндр с максимальным объемом (задача Кеплера).

1.2.26.Вписать в круг треугольник с максимальной суммой квадратов сторон.

2.Численные методы поиска экстремума

2.1. Одномерный поиск

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Рассмотрим для определенности задачу минимизации функции f.

Функция f называется унимодальной на [a,b], если существует единственная точка x* [a,b] , в которой f принимает

минимальное значение. Таким образом, если a<x1<x2<b, то из условия х1<x* следует неравенство f(x1)<f(x2), а из условия х1>x* - неравенство f(x1)>f(x2).

21

Унимодальная функция может иметь разрыв (т.е. не быть непрерывной), излом (т.е. быть не дифференцируемой), но не может содержать участков, где она постоянна.

Задача состоит в построении такой последовательности чисел {xk}, чтобы при некотором n минимальное значение функции

дихотомии(деления отрезка пополам). Этот метод состоит в следующем.

Выберем достаточно малое >0 и вычислим

значения c и d, a следовательно, и новый интервал неопределенности [a2 , b2 ] и т.д. Приближенная формула

1

2 (bn an ).

За минимальное значение функции f на [a,b] принимают число

Менее трудоемкая процедура поиска минимума унимодальной функции достигается в методе золотого сечения.

Золотым сечением отрезка [a,b] называют деление отрезка на две части [a,z], [z,b] так, что отношение длины всего отрезка к длине большей части равно отношению длины большей части к меньшей, т.е.

22