3172

n

ij x j

xn i

i ,

i 1, m

j 1

(5.1.3)

x j

0,

j

1, n

m

j x j

0,

j 1, n

i xn i

0 i 1, m,

i

0,

i

1, m,

j

0, j

1, n .

Решение

(x1, x2 ,...,xn+m , 1,...,

m ,

1,..., n )

данной системы

n m линейных

уравнений

содержит,

по крайней

мере n

m

нулевых координат.

Задачу нахождения

решения системы

без

____

____

условий i xn i

0,

i=1,m и

j xj

0,

j=1,n

можно свести к

z1 z2

...

z n

z n 1

...

z n m

min

n q ij x j

n

i

ij

j

z j

b j , j 1, n

i 1

i 1

n

ij x j

x n i

z n i

i , i 1, m

j 1

x j

0, z j

0

j

1, n

m

i

0,

i

1, m,

j

0,

j

1, n .

При реализации метода искусственного базиса следует

учитывать условия

_____

____

ш xn i

0,

i=1,m,

j xj

0,

j=1,n,

т.е. не включать в базисные переменные одновременно

i и xn i с

одним и тем же номером i

и переменные

j

и xj с одинаковым

номером j .

Пример. Решить задачу квадратичного программирования:

x 2

2x x

2

2x 2

2x

6x

2

min

1

1

2

1

x1

x2

2

x1 2x2 2

x1

0, x2

0.

Решение. Целевая функция данной задачи является

квадратичной с матрицей

A

1

1

1

2

1

1,

2

1

положительны, то данная матрица является

2x1

2x2

1

2

1

2

2x1

4x2

1

2 2

2

6

x1

x2

x3

2

x1

2x2

x4

2

x1 , x2 , x3 , x4 , 1 ,

2 , 1 ,

2

0

1x1

2 x2

1x3

2 x4

0.

x5

x6

max

2x1

2x2

1

2

1 x5

2

2x1

4x2

1

2 2

2

x6 6

x1

2x2

x4

2

x1, x2 , x3 , x4 ,

1,

2 , 1,

2

0,

взяв

в

качестве

первоначального

базисного

множества

J

{5, 6,3, 4}.. Приведем последовательность симплексных таблиц.

cB

J

xB

x1

x2

x3

x4

λ1

λ2

μ1

μ2

-1

5

2

2

-2

0

0

1

-1

-1

0

-1

6

6

-2

4

0

0

1

2

0

-1

0

3

2

1

1

1

0

0

0

0

0

0

4

2

-1

2

0

1

0

0

0

0

-8

0

-2

0

0

-2

-1

1

1

-1

5

4

1

0

0

1

1

-1

-1

0

-1

6

2

0

0

0

-2

1

2

0

1

0

3

1

3/2

0

1

-1/2

0

0

0

0

0

2

1

-1/2

1

0

½

0

0

0

0

-6

-1

0

0

1

-2

-1

1

1

-1

5

10/3

0

0

-2/3

4/3

1

-1

-1

0

-1

6

2

0

0

0

-2

1

2

0

-1

0

1

2/3

1

0

2/3

-1/3

0

0

0

0

0

2

4/3

0

1

1/3

1/3

0

0

0

0

-16/3

0

0

2/3

2/3

-2

-1

1

1

-1

5

4/3

0

0

-2/3

10/3

0

-3

-1

1

0

λ1

2

0

0

0

-2

1

2

0

-1

0

1

2/3

1

0

2/3

-1/3

0

0

0

0

0

2

4/3

0

1

1/3

1/3

0

0

0

0

-4/3

0

0

2/3

-10/3

0

3

1

-1

0

4

4/10

0

λ1

28/10

0

1

4/5

0

2

6/5

0

0

0

0

0

0

0

0

0

x , x

, x

, x

,

,

,

,

4

,

6

,0,

2

,

14

,0,0,0

2

3

4

1

2

1

2

1

5

5

5

5

.

имеет вид x*

4

,

6

с значением целевой функции

5

5

f * f (x* )

36

.

5

Задачи для самостоятельного решения

1.

Решить

следующие

задачи

квадратичного

программирования:

5.1.1)

(x 4)2

(x 2)2

min

1

2

cxT

max

____

(5.2.1)

: fi (x) bi ,

i=1,m.

З а м е ч а н и е

1 .

Любая

задача

выпуклого

функцией

(x)

max

_____

fi (x)

bi , i=1,m,

то она может быть переписана следующим образом:

max

(x)

0,

_____

fi (x)

bi ,

i=1,m.

Для решения задач вида (5.2.1) применяется метод секущих

плоскостей,

основанный

на

приближении

всех нелинейных

функций

fi (x) линейными

с использованием

разложения по

формуле Тейлора:

fi (x)

fi (x0 )

fi (x0 )(x x0 )T .

Рассмотрим задачу

cxT

max

(x0 )

(x0 )(x x0 )T

_____ (5.2.2)

1

:

f

f

b ,

i=1,m .

i

i

i

sup cxT

,

1

даже если задача (5.2.1) разрешима).

Так как функции

fi (x)

выпуклы вниз, справедливо

неравенство

f

(x)

f

(x0 )

f

(x0 )(x x0 )T b .

i

i

i

i

Следовательно

1. . Пусть x1 - решение задачи (5.2.2).

тогда

f

i

(x1 )

f

i

(x1 )(x x1 )T

b , i :{ f

i

(x1 ) b }

.

i

i

Эти ограничения обладают следующими свойствами:

a) Точка

x1

не удовлетворяет этим ограничениям;

b) во всех точках множества

они выполняются.

Таким образом,

получаем

новое

множество

2

, такое

что

2

1. Далее итерационный процесс повторяется.

Доказано,

что

генерируемая

таким

образом

последовательность

Шаг 1. Задать x0

(не обязательно допустимое),

(точность

попадания в допустимую область).

Шаг 2.

Положить k 1

____

1

{x : f

i

(x0 )

f

(x0 )(x

x0 )T b , i=1,m}.

i

i

Шаг 3.

Найти xk - решение задачи линейного

программирования

cxT

max

x

k .

Шаг 4.

Если

i : f

(xk )

b

, то останов x* xk .

i

i

Шаг 5.

Положить

л 1

k

{x : f

i

(xk )

f

(xk )(x xk )T

b ,

i

i

i : f

(xk )

b };

i

i

0.92

( 2; 5.24)(x

2.97; x

2

2.62)T

15

1

12.3

(4.75; 2)(x

2.97; x

2

2.62)T

9

1

Добавляем эти ограничения к задаче линейного

программирования

и

находим

следующее

решение

(x)

x1

x2

max

f (x)

x

2

x2

9.

1

1

2

Решение.

Выберем

x0

(2, 3).

Вычислим

f1 (x)

(2x1; 2x2 ). Тогда

f (x)

13 (4;6)(x

2; x

3)T

4x

6x

13.

1

1

2

1

2

Решим графически задачу линейного программирования:

x1

x2

max

1 :

4x1

6x2

22.

функции допустимое множество не ограничено, sup (x)

,

1

т.е. ЗЛП решения не имеет. Однако исходная задача разрешима,

x*

3

,

3

.

2

2

Этот

пример

иллюстрирует

существенность

требования

ограниченности множества

1.

xk нелинейной функции f (x)

линейной функцией c xT . . Из

k

формулы Тейлора следует, что

f (x) f (x k )

f (x k )(x x k )T .