3127
.pdf
|
Рис. 4.1. Области практической устойчивости робота |
|
|
Поскольку параметры робота могут значительно изменяться (например, полезная нагрузка), |
|
при синтезе управления это следует учитывать. Параметры робота делятся на две группы: |
|
|
|
— параметры механической части, которые в общем случае полагаются переменными и |
|
неизвестными, а их изменения - быстрыми; |
|
|
|
yп — параметры приводов, которые меняются медленно. |
|
|
Допустимо предположить, что модели приводов предварительно определены и неизмен- |
|
ны, а |
, т.е. значения параметров механической части принадлежат некоторому ограничен- |
|
ному множеству . |
|
|
|
Сформулируем следующую задачу для исполнительного уровня: |
|
|
Необходимо синтезировать управление U(t, y), которое будет обеспечивать при y(0) Y(0) |
|
и |
выполнение условия |
|
|
y{t ,y(0), , U[t, y(t)]} Y (t), t T o . |
(4.3) |
|
Между областями Y(0), Y(t), временем выполнения движения t и множеством |
может |
существовать некоторая корреляция. Например, если масса полезной нагрузки велика, можно потребовать замедления движения рабочего органа (Tо возрастает и Y(t) может увеличиваться) по сравнению со случаем, когда масса нагрузки мала. Поэтому, для того, чтобы обеспечить синтез управления, учитывающего требования к конкретному роботу, нужно изменить определение (4.3) задачи управления.
101
Пусть вместо одной номинальной траектории yзад(t), t To задано множество κ 1 номинальных траекторий yзад κ (t), t T κ o, κ 1 = 1, 2, ... , κ . Каждой номинальной траектории ставятся в соответствие области Y κ (0), Y κ (t) и множество допустимых изменений
параметров вдоль соответствующей |
номинальной |
траектории |
κ |
κ . Теперь можно |
|
определить расширенную задачу управления. |
|
|
|
|
|
Требуется синтезировать управление U(t ,y), которое будет обес- |
|||||
печивать при y(0) Y κ (0) и κ |
κ выполнение условия |
|
|||
y{t , |
y(0), κ ,U[t, |
y(t )]} Y κ (t ), |
|
t T κ o , κ |
κ 1, (4.4) |
где T κ o —время отработки κ -й номинальной траектории. |
|
||||
Ограниченные области Y κ (0) и Y κ (t) пространства состояния в окрестности |
κ -й номи- |
||||
нальной траектории yзад κ (t) задаются следующими соотношениями в разделенном по координатам виде:
Y κ (0) = Y κ 1(0) |
Y κ 2(0) |
... Y κ j(0) |
... Y κ n(0), |
(4.5) |
|
Y κ (t) = Y κ 1(t) |
Y κ 2(t) |
... Y κ j(t) |
... Y κ n(t), |
||
|
где j = 1, 2, ... , n - номер обобщенной координаты.
Цель состоит в синтезе управления для расширенной задачи управления (4.4). Однако для простоты изложения будем производить синтез управления для более простой задачи (4.3), распространение результатов на случай (4.4) является тривиальным.
102
4.2. Методы управления, основанные на решении |
обратной задачи динамики |
Обратная задача динамики состоит в определении вектора обобщенных сил P(t), который необходим для отработки системой управления векторов заданных траекторий qзад(t) обобщенных координат, их первых q зад(t) и вторых q зад(t) производных.
В методах управления, основанных на решении обратной задачи, математическая модель динамики манипулятора непосредственно включается в систему управления. Так, в работах /20/, /22/ описаны подходы, предусматривающие формирование полной динамики робота в процессе управления, т.е. вычисление обобщенных сил в соответствии с уравнением (1.30) при использовании измеренных значений обобщенных координат q(t) и скоростей q (t) робота. Бы-
ло показано, что робот является асимптотически устойчивым в окрестности номинальной траектории, если вектор обобщенных сил вычисляется следующим образом /20/:
P(t ) = A (q(t )){ q зад(t)+K0 [qзад (t)– q(t )]+
+K1 |
[ q зад (t)– q (t)]}+B(q(t), q (t))+C (q(t)), |
(4.6) |
||
|
|
|
|
|
где K 0 – матрица размером n n коэффициентов обратной связи по положению; K1 – матрица размером n n коэффициентов обратной связи по скорости.
По формуле (4.6) рассчитываются только обобщенные силы. Необходимо также рассмотреть модели приводов (1.74). На основе уравнений (1.74) и (1.88) получим следующее выражение для расчета управляющего сигнала Uj на привод j-ой координаты:
|
- 1 |
. (4.7) |
Uj = [ у j -Dj (yп j )yj - fj (yп j )Zj (qj )Pj ] [bj (yп j )] |
|
103
Вектор состояния привода j-й координаты yj и его первая производная по времени у j могут быть определены через обобщенную координату qj и ее производную q j из соотношений
(1.86) и (1.87) для конкретных типов манипуляторов.
Схема системы управления, построенной в соответствии с методом «обратной задачи», показана на рис. 4.2. Схема вычисляет вектор P(t)обобщенных сил в соответствии с уравнением (4.6); вектор U(t) управляющих сигналов рассчитывается на основе уравнений движения (4.7) приводов координат. В схеме учитываются взаимовлияние звеньев [матрица B(q, q )], гра-
витационные силы [матрица C(q)], изменение моментов инерции при движении манипулятора [в матрице A(q)].
Данный подход обладает рядом недостатков. Основная проблема состоит в том, что при вычислении по формуле (4.6) требуется полная модель динамики манипулятора робота. Как было показано в гл. 1, математическая модель механической части манипулятора даже для трехкоординатных расчетных схем, работающих в цилиндрической, сферической и угловой системах координат, представляет собой сложную систему взаимосвязанных нелинейных дифференциальных уравнений.
B(q, q ) |
|
|
|
|
Вычисление В(q, q ) |
|
|
|
|
|
|
C(q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление C(q) |
||
|
|
||
|
|
|
|
P(t) |
|
U(t) |
|
104 |
|
q(t) |
Вычисление |
|
|
||||
|
Исполни- |
|
q (t) |
|||
|
|
|
|
|||
|
вектора U(t) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 4.2. Схема системы управления |
по методу «обратной зада- |
|
чи» |
Для робота со сложной манипуляционной системой расчет управлений в реальном времени может оказаться нецелесообразным или даже невозможным. В связи с этим известны многочисленные попытки применять упрощенные модели динамики манипуляторов, в которых
105
для облегчения вычислений опущены некоторые составляющие модели. Обычно в (1.30) пренебрегают компонентой B(q, q ), т.к. она несущест-
венна в окрестности целевого положения (значения скоростей сочленений в это время малы). Пренебрегают также взаимовлиянием моментов инерции в матрице A(q). Это означает, что модель упрощается до диагональных элементов матрицы A(q) и до гравитационных сил, т.е. управление (4.6) сводится к выражению
P(t ) = Aj j (q(t)){ q зад (t) +K0 [q зад (t) – q(t)] +
K1 |
[ q зад (t )– q (t )]}+C (q(t )), |
(4.8) |
|
|
|
|
|
где Aj j (q(t))– диагональная матрица инерционных параметров.
Схема системы управления в этом случае имеет вид, приведенный на рис. 4.3.
C(q)
Вычисление C(q)
|
|
|
P(t) |
|
|
|
U(t) |
|
|
|
|
q(t) |
|
|
|
Вычисление |
|
Исполни- |
|
||||||
|
|
|
|
|
q (t) |
|||||||
|
|
|
|
вектора U(t) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аj j (q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление Аj j (q) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106qзад (t) |
|
|
q |
зад (t) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
q (t) |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
К 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
q зад (t)
Рис. 4.3. Схема системы управления по методу «обратной задачи» c упрощенными вычислениями
Благодаря принятым упрощениям вычисления значительно сокращаются, но для некоторых типов манипуляторов они остаются громоздкими. С другой стороны, возникает вопрос: не снижают ли эти упрощения эффективность управления? Предположение об отсутствии взаимовлияния звеньев полностью оправдано для манипулятора, работающего в декартовой системе координат [см. выражение (1.16)], для ТМ с декартовой, цилиндрической и угловой системами координат матрица A(q) является диагональной [см. выражения (1.17), (1.31) и (1.50)]. В общем случае применение упрощенных выражений должно быть обосновано исходя из конкретных требований к динамике проектируемой системы; на практике необходимо искать разумный компромисс между сложностью управляющей техники и качеством исполнения роботом заданий.
Таким образом, с методом «обратной задачи» связано несколько проблем, основная из ко-
107
торых состоит в сложности его реализации и трудности использования. Кроме того, до сих пор не разработана систематическая процедура для синтеза управления произвольным манипулятором (выбор сложности модели, структуры и коэффициентов матриц K0, K1 обратной связи и т.д.). Основная проблема, связанная с рассмотренными схемами управления, заключается во включении динамической модели манипулятора непосредственно в структуру управляющей системы, что делает исполнение подобных схем сложным и непрактичным. К тому же, реализация законов управления (4.6) или (4.8) требует знания всех параметров манипулятора, входящих в матрицы A(q), B(q, q ) и C(q). Однако, в общей постановке задачи управления (4.3) или
(4.4) предполагается, что параметры механизма заранее не известны. Поэтому, несмотря на сложность вычислений, управление (4.6), реализованное для фиксированных параметров механизма, не гарантирует достижения заданной цели управления.
В работе /12/ изложены основы синтеза алгоритмов исполнительного уровня на базе принципа управления по ускорению. Эти алгоритмы придают проектируемым системам естественные свойства адаптивности, слабой чувствительности к изменению параметров и возмущений, что исключает необходимость иметь полную информацию о математических моделях управляемого движения. Структура алгоритмов соответствует исходным нелинейным уравнениям манипулятора, т.к. параметры рассчитываются на основе концепций обратных задач динамики из условия реализации назначаемых динамических характеристик. В то же время матрицы A(q), B(q, q ) и C(q) не рассчитываются в ходе формирования управляющих воздейст-
вий, что значительно сокращает время вычислений. Поэтому алгоритмы управления по ускорению представляют большой практический интерес.
108
4.3.Алгоритмы управления по ускорению
Вэтом разделе рассмотрим задачу синтеза алгоритмов управления по ускорению пространственным движением исполнительных механизмов (манипуляторов) роботов.
На основе выражений (1.30) и (1.70) составим следующую систему уравнений динамики манипулятора с исполнительными приводами постоянного тока:
A(q) q + B(q, q ) + C(q) = P,
Lj |
I j |
R j I j |
U j ke j q д j , |
j |
1, 2,..., n, |
(4.9) |
||
|
|
|
qд j |
|
kт р qд j M н j , |
|
|
|
J j |
M д j |
M д j |
kт j I j , |
|
||||
где Мд j - электромагнитный момент двигателя j-й координаты.
Для вращательных степеней подвижности, учитывая коэффициент передачи редуктора nj , преобразуем уравнения динамики привода постоянного тока следующим образом:
|
|
|
= Мдj – kтр nj q j – Pj /n j , |
|
|
J j nj q j |
|
||||
|
|
|
|
(4.10) |
|
Lj km j I j /Rj +km j Ij =Uj km j /Rj -km j ke j nj q j /Rj , |
|||||
|
|||||
|
|
|
|||
где q j , q j — первая и вторая производные по времени от обобщенной координаты;
109
Pj — обобщенная сила, представляющая собой для вращательного движения момент в j-м сочленении механизма.
Представим систему (4.10) в следующем виде:
J j nj 2 q j = nj [Мд j – Мс j ( q j )]– Рj , (4.11)
Tэ j M д j +Мд j = Uj km j /Rj -km j ke j nj q j /Rj ,
где Мс j ( q j ) — момент сопротивления на валу двигателя j-й координаты от сил вязкого трения;
Тэ j =Lj /Rj - электрическая постоянная времени двигателя j-й координаты.
Ввекторной форме система (4.11) запишется в виде:
O q =N[Мд -Мс ( q )]-P,
(4.12)
Тэ М д +Мд =eU-c q .
В уравнениях системы (4.12) приняты следующие обозначения:
|
|
|
2 }, q = { q 1, q 2,..., q n}т, |
|
|||||
O = diag{ J j nj |
N = diag{nj }, |
||||||||
|
|
|
т |
|
|
, |
|
|
т |
Мд = {Мд1, Мд2,..., Мд n } , |
М д = { M д1 |
Mд2 |
,..., M |
д n } , |
|||||
Мс( q )={Мс1( q 1), Мс2( q 2),..., Мсn( q n)}т, P ={P1, P2,..., Pn}т, (4.13) Тэ = diag{Тэj}, e = diag{km j /Rj }, U = {U1, U2,..., Un}т,
110