3007

Название

Уравнение в полярной системе

Уравнение в декартовой системе

координат

координат

Гипербола

p

, 1

x2

y2

1

1 cos

a2

b2

Жезл

a

2

a

2

2

x2 y2

arctg

y

x

Каппа

a ctg

x2

y2 y2

a2 x2

Кардиоида

a(1 cos ) , a 0

x2 y2 2ax x2 y2 a2 y2

0

Конхоида Никоме-

a

b

x2 y2 x a 2

b2 x2 , a 0 ,

b 0

да

cos

Кохлеоида

a

sin

x2 y2

a2 y2

arctg2

y

x

Лемниската Бер-

2

2a2 cos2 .

x2

y2 2

2a2 x2

y2

нулли

Овал Кассини

2 c2 cos2

c4 cos2 (a4 c4 )

x2 y2 2

2c2 x2 y2 a4 c4 0 ,

c 0 , a 0

Окружность

2a sin

x2 ( y a)2 a2

Парабола

p

, 1

y2 2 px

1 cos

Роза трехлепестко-

cos3

x2

y2 2

x x2

3y2

вая

Роза четырехлепе-

a sin 2

x2 y2 3 4a2 x2 y2

стковая

Спираль Архимеда

a ,

a 0

x2 y2

a arctg

y

x

Спираль Галилея

a 2 l ,

l 0

2

2

2

y

2

x

y

a arctg

l

x

Спираль гипербо-

a

, 0

x2 y2

a2

лическая

arctg2

y

x

Спираль логариф-

k

y

ae

2

y

2

a

2

2k arctg

мическая

x

e

x

Спираль параболи-

l 2

a2 , l 0

x2

y2 l 2 a2

arctg

y

ческая

x

Спираль Ферма

2 a2

x2 y2 a2 arctg

y

x

Строфоида

a

cos 2

y2 x2

a x

, a 0

cos

a x

Улитка Пас-

2a cos b

x2 y2 2ax b2 x2 y2 ,

a 0 , b 0

каля

Циссоида

sin

2

x

3

y

2

(x a) 0

a

, a 0

cos

Эллипс

p

, 1

x2

y2

1

1 cos

a2

b2

Название

Параметрическое уравнение

Уравнение в декартовой системе

координат

Астроида

x a cos3 t,

2

2

2

x

3

y

3

a

3

y a sin 3 t

Гипербола

x a sect,

x2

y2

1

tgt

a

2

b

2

y b

Декартов

x

3at

x

3

y

3

3axy 0; a 0

,

лист

1 t

3

t

1 и 1 t

3at2

y

,

1 t

3

Окружность

x а cost,

x2 y2

a2

y аsin t

Циклоида

x a t sin t ,

x

y 2a y

a y; a 0

cost

a cos

y a 1

a

Циссоида

at 2

x3 y2 (x a) 0

x

,

1 t 2

at

3

y

1 t

2

Эллипс

x a cost,

x2

y2

1

a

2

b

2

y bsin t

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ....................................................................................................................

3

Глава 1. ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ ..................................................

4

1.1. Основные понятия ...............................................................................................

4

тригонометрические функции …………………………………........................

14

1.3.1. Розы ………………………………………………………….....................

14

1.4. Спирали ……………………………………………………………....................

25

1.4.3. Спираль Галилея ……………………………………………...................

28

1.4.4. Спираль Ферма ……………………………………………......................

28

1.4.5. Параболическая спираль …………………………………......................

29

1.4.6. Жезл …………………………………………………………....................

30

1.5.4. Кривая Каппа ……………………………………………….....................

34

1.5.5. Кохлеоида ………………………………………………….......................

35

1.5.6. Овал Кассини ……………………………………………….....................

35

1.5.7. Циссоида …………………………………………………….....................

36

Глава 2. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ФУНКЦИИ ………….....................

37

Глава 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА .....................................................................

48

3.1. Окружность ..........................................................................................................

48

3.2. Эллипс ..................................................................................................................

49

3.2.1. Каноническое уравнение эллипса ...........................................................

49

3.2.2. Исследование формы эллипса .................................................................

50

3.2.3. Эксцентриситет и директрисы эллипса ..................................................

51

3.3. Гипербола .............................................................................................................

54

3.3.1. Каноническое уравнение гиперболы ......................................................

54

3.3.2. Исследование формы гиперболы.............................................................

54

3.3.3. Эксцентриситет и директрисы гиперболы .............................................

55

3.3.4. Различные виды гиперболы .....................................................................

56

3.4. Парабола ..............................................................................................................

57

3.4.1. Каноническое уравнение параболы ........................................................

57

3.4.2. Исследование формы параболы ..............................................................

58

3.4.3. Различные виды параболы .......................................................................

59

3.5. Кривые второго порядка с осями симметрии, параллельными

координатным осям ............................................................................................

60

3.6. Кривые второго порядка в полярных координатах или

заданные параметрическим образом .................................................................

64

Глава 4. ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГ ИНТЕГРАЛА ………………............

65

4.1. Вычисление площадей плоских фигур ……………………….........................

65

4.2. Вычисление длины дуги кривой ………….…………………...........................

67

ЗАКЛЮЧЕНИЕ …………………………………………………………….....................

70

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………………….......................

70

ПРИЛОЖЕНИЕ 1 …………………………………………………………......................

71

ПРИЛОЖЕНИЕ 2 …………………………………………………………......................

73