3007

парабола. Полярная ось направлена в сторону, противоположную от соответствующей дирек-

p

трисы D. Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через , где p – параметр кривой,

называемый полуфокальным диаметром.

Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следующем: для любой точки M отношение расстояния от точки М до фокуса F к расстоянию от точки М до директрисы есть величина постоянная:

Рис. 1.8. К выводу уравнений кривых второго порядка в полярной системе координат

Уравнение (1.5) и есть искомое уравнение в полярной системе координат, общее для эллипса, гиперболы и параболы, причем, если

1, то кривая, определяемая уравнением (1.5) – эллипс;

1 , то кривая (1.5) – гипербола;

1 , то кривая (1.5) – парабола.

11

Пример 1.8. Что представляют собой линии, заданные в полярной системе координат уравнениям a const и const?

Решение. Геометрическое место точек, для которых – расстояние до полюса постоянно, есть окружность. Поэтому уравнение a определяет окружность радиуса a с центром в по-

Рис. 1.9. Геометрические места точек, определяемые уравнениями:

лом к полярной оси. Вся прямая, проходящая через полюс, записывается в полярной системе координат уравнениями и (рис. 9, б).

Пример 1.9. Даны прямая l и точка O, не лежащая на ней. Определить геометрическое место точек M, для которых OM OA C ( C 0 ), где A – произвольная точка прямой l.

Решение. Уравнение искомого геометрического места точек удобно записать в полярной системе координат, выбирая ее так, чтобы полюс был в точке O, а полярная ось O проходила

Пусть ( , ) – полярные координаты точки M. По условию задачи A C , отсюда

C C cos 2R cos ,

A p

12

где R 2Cp . Таким образом, полярное уравнение геометрического места точек M имеет вид

2R cos .

l

Y

M ( , ) A

S Q

Рис. 1.10. Геометрические построения к примеру 1.9 по нахождению геометрического места точек

Это уравнение показывает, что в треугольнике OMQ угол QMO прямой и, как известно из элементарной геометрии, точка M расположена на окружности с диаметром OQ.

точке C(O,a) и радиусом R=a.

13

Y

2a

2a sin

С(0, a)

Рис. 1.11. Окружность, проходящая через начало координат

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1.5.В полярной системе координат изобразить линии 3 / 4 , 2 / 3 .

1.6.Записать уравнение кривой x2 y2 6y в полярной системе координат и построить

кривую.

1.7.Записать уравнение кривой x2 y2 4x в полярной системе координат и построить

кривую.

1.8.В полярной системе координат написать уравнение окружности с радиусом 2, если: а) центр окружности находится в полюсе; б) полюс лежит на окружности, а полярная ось проходит через центр окружности.

1.3. Кривые, полярные уравнения которых содержат тригонометрические функции

1.3.1. Розы

Розами называют семейства кривых, полярные уравнения которых записываются в виде

что sin k и cosk – периодические функции, роза состоит из одинаковых частей (лепестков), симметричных относительно наибольших радиусов, каждые из которых равен a. Если k – це-

лое число, то роза состоит из 2k лепестков при k – четном, и из k лепестков при k – нечетном. При построении линии в полярной системе координат, если наблюдается симметрия отно-

сительно полярной оси, удобно сначала заготовить так называемую полярную сетку. Эта сетка строится из лучей, которые с полярной осью составляют углы, указанные в таблице значений

аргумента , окружностей с радиусами . Далее строят точки, координаты которых указыва-

ются в таблице, а также им симметричные. Кроме того, при построении кривых, уравнения которых содержат тригонометрические функции, следует учитывать период функции и использовать симметрию кривой относительно осей координат.

Пример 1.11. Построить кривую, заданную уравнением

14

равными 1 и 22 . Соединяя полученные точки отрезками линий (на рис. 1.12 они указаны пунк-

тиром), мы получили ломаную линию, схематически показывающую строение нашей кривой. Увеличивая число точек, определяемых на линии, можно, таким образом, получить ломаную, как угодно близко прилегающую к линии cos3 .

15

Пример 1.12. Отрезок AB постоянной длины 2a скользит своими концами по сторонам прямого угла. Из вершины прямого угла O на этот отрезок опущен перпендикуляр OM. Найти геометрическое место оснований этих перпендикуляров.

Решение. Пусть отрезок AB = 2a скользит по сторонам прямого угла своими концами. Точка M ( , ) – основание перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла O на отре-

зок AB (рис. 1.13).

Составим уравнение этого геометрического места точек в полярных координатах. Для это-

16

ставить в уравнение a sin 2 соответствующие значения .

Y

A

M

B

X ,

Рис. 1.13. Четырехлепестковая роза a sin 2

Пример 1.13. Построить кривую

и найти ее уравнение в декартовых координатах.

Решение. Кривая a sin 2 является четырехлепестковой розой. Ее уравнение в декартовых координатах можно получить, если использовать формулы

x2 y 2 ;

17

Подстановка этих формул в уравнение кривой дает

или, после упрощения,

x2 y2 3 2axy .

Окончательно получаем уравнение четырехлепестковой розы в декартовых координатах

(табл.1.2). Затем построим полярную сетку, для чего проведем лучи, составляющие с полярной осью указанные в табл.1.2 углы. Далее, соединив полученные точки плавной линией, получим в I и IV четвертях, а затем и всю кривую, используя симметрию, относительно начала координат.

Замечание. Из уравнения x2 y2 3 4a2 x2 y2 видно, что если точка с координатами (x, y) удовлетворяет уравнению, то и точки с координатами ( x, y) , (x, y) и ( x, y) также удовле-

творяют этому уравнению. Следовательно, график функции симметричен относительно начала координат и координатных осей ОX и ОY. Поэтому таблицу значений функции можно было со-

ставить для 0 2 , а затем отобразить график функции симметрично относительно коорди-

натных осей. Из табл. 1.2 видно, что полученные значения , при заданном угле , повторя-

ются в каждой четверти, поэтому полярную сетку строим следующим образом: проводим лучи, которые составляют с полярной осью углы, указанные в табл. 1.2. Затем строим окружности ра-

эти точки плавной линией, получим искомую кривую (рис.1.14).

18

Таблица 1.2

Значения функции a sin 2