3007

Пример 2.4. Кривая задана параметрическими уравнениями

Найти уравнение линии в декартовых координатах.

Решение. По условию

Выразим из последнего равенства параметр: cost ax , tgt by или

Рис. 2.4. Гипербола симметричная относительно начала координат

41

Пример 2.5. Какая линия определяется параметрическими уравнениями

x t 2 ,

y t 2 ?

правленный по биссектрисе I координатного угла (рис. 2.5).

Рис. 2.5. Графическое изображение к примеру 2.5

Пример 2.6. Какая линия определяется уравнениями

x sin t,

y cosect ?

42

yY

2.2. Написать параметрические уравнения окружности с центром в начале координат и радиусом 5.

2.3. Написать параметрическое уравнение эллипса с полуосями a = 7, b = 3 (центр эллипса находится в точке (0,0)).

2.4. Написать параметрическое уравнение гиперболы с полуосями a = 3, b = 7 (центр симметрии находится в точке (0,0)).

2.5. Написать параметрическое уравнение параболы с вершиной в точке (0,0) и ориентированной вдоль положительных значений оси OY.

2.2. Некоторые кривые, заданные параметрически

2.2.1. Циклоида

Циклоидой называется кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии (рис. 2.7).

Выведем параметрические уравнения циклоиды, приняв прямую линию за ось ОХ, предполагая, что радиус, катящейся окружности равен а и в начальный момент движущаяся точка М совпадает с началом координат. За параметр t примем угол поворота (в радианах) подвижного радиуса KC, где К – точка касания окружности с осью ОХ. Так как качение окружности проис-

ходит без скольжения, то OK MK at .

43

Отсюда для координат движущейся точки М циклоиды получим следующие выражения: x OP OK PK OK MQ at asin t a t sin t ,

y PM KC QC a a cost a 1 cost .

Таким образом, параметрические уравнения циклоиды

В декартовых координатах уравнение циклоиды:

2.2.2. Астроида

Астроида – это кривая, определяемая параметрическими уравнениями

Определим значения x и y для различных значений t и занесем их в табл. 2.3. Так как

тригонометрические функции синус и косинус являются периодическими с периодом 2 , то t 0, 2 .

44

Таблица 2.3

Исключив параметр t, можно найти уравнение астроиды в прямоугольной системе коорди-

нат. Из первого уравнения определим cos3 t , а из второго уравнения sin 3 t ; cos3 t ax , sin 3 t ay ,

Так как sin 2 t cos2 t 1, то возводя в квадрат обе части последних равенств, потом складывая их, получим:

скольжения внутри нее. Тогда точка М окружности К описывает кривую с параметрическими уравнениями x acos3 t, y asin 3 t , т.е. астроиду.

45

Y a

Рис. 2.8. Астроида

2.2.3. Декартов лист

Декартов лист ‒ линия, которая состоит из петли и двух бесконечных ветвей (рис. 2.9). Декартов лист можно задать в декартовой системе координат уравнением

Параметрически декартов лист задается уравнениями вида:

Здесь М – произвольная точка кривой. Начало координат О – узловая точка кривой. При1 t кривая проходит из второго квадранта через точку (0, 0) и точку А в точку (0, 0) ( t ), при t 1 кривая, начинаясь в точке (0, 0), располагается в четвертом квадран-

46

те. Оси координат – касательные к кривой в точке (0, 0). Асимптота описывается уравнением

Y

А

Рис. 2.9. Декартов лист при a 1

2.2.4. Циссоида

Циссоиду можно задать уравнением в декартовых координатах:

Параметрические уравнения циссоиды имеют вид:

Уравнение x a описывает асимптоту кривой. Геометрическое место точек, удовлетворяющих уравнению (2.9) изображено на рис. 2.10.

47

Y y

x = a

Рис. 2.10. Циссоида

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

2.6.Точки A(5, 0) и B(0, 5) принадлежат астроиде, симметричной относительно осей OХ и OY. Написать ее параметрические уравнения и построить кривую.

2.7.Одна арка циклоиды опирается на отрезок длиной 4π. Написать ее параметрические уравнения.

ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим линии, определяемые уравнениями второй степени относительно переменных

x и y

причем по крайней мере один из коэффициентов A, B или C отличен от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка. Можно утверждать, что уравнение (3.1) определяет на плоскости окружность, эллипс, гиперболу или параболу [10]. Перейдем к рассмотрению свойств этих кривых.

3.1. Окружность

Простейшей кривой второго порядка является окружность. По определению окружностью радиуса R с центром в точке M0 (x0 , y0 ) называется множество всех точек плоскости М таких,

что M0M R .

Пусть M (x, y) – произвольная точка окружности (рис. 3.1), тогда из условия M0M R получаем уравнение

48

(x x0 )2 ( y y0 )2 R ,

возведя в квадрат обе части уравнения получим

Уравнение (3.2) – это уравнение окружности радиуса R с центром в точке M0 (x0 , y0 ) .

Y

M

R

M

Рис. 3.1. Окружность радиуса R с центром в точке M0 (x0 , y0 )

Полагая x0 0 и y0 0 , получим уравнение окружности с центром в начале координат x2 y2 R2 .

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

3.1. Написать уравнение окружности с центром в точке С( 4,3) и радиусам равным 5, построить ее. Лежат ли на этой окружности точки А(-1,-1); В(3,2); О(0,0)?

3.2. Написать уравнение окружности с центром в точке С(2, 3) , проходящей через точку А(5,1), построить ее.

3.2.Эллипс

3.2.1.Каноническое уравнение эллипса

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем

49

Y M(x,y)

Уравнение (3.4) – каноническое уравнение эллипса.

3.2.2. Исследование формы эллипса

Установим форму эллипса, пользуясь его каноническим уравнением (3.4).

1. Симметрия эллипса. Уравнение (3.4) содержит x и y только в четных степенях, поэтому если точка (x,y) принадлежит эллипсу, то ему также принадлежат точки (x,-y), (-x,y), (-x, -y). Следовательно, эллипс симметричен относительно координатных осей и начала координат.

Точку O(0,0) называют центром симметрии эллипса.

50