3007

Уравнения вида

где p 0 , определяют параболы с вершиной в точке O1(x0 , y0 ) , они изображены на рис. 3.12.

Y Y

61

Уравнения (3.11), (3.12), (3.13) после преобразования (раскрыть скобки, привести подобные, ввести новые обозначения коэффициентов) можно записать с помощью единого уравнения вида

где А и С не равны нулю одновременно.

Возникает вопрос: всякое ли уравнение (3.14) определяет одну из кривых (окружность, эллипс, гипербола, парабола) второго порядка? Ответ дает следующая теорема.

Теорема. Уравнение (3.14) всегда определяет: либо окружность при А = С; либо эллипс при А С 0 ; либо гиперболу при А С 0 ; либо параболу при А С 0 . При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) – в точку или мнимый эллипс (окружность); для гиперболы – в пару пересекающихся прямых; для параболы – в пару параллельных прямых.

Пример 3.1. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобра-

Рис. 3.13. Геометрическое построение к примеру 3.1

62

Пример 3.2. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобразить кривую: x2 y2 6x 4y 4 0 .

Решение. Так как А С 1 ( 1) 0 , то данное уравнение определяет гиперболу. Выделяя полные квадраты и приведя подобные, уравнение можно привести к виду:

(x2 6x 9) ( y2 4y 4) 9 4 4 0

(x 3)2 ( y 2)2 9 .

Получим уравнение гиперболы

с центром в точке (3,2) и полуосями а 3 , b 3 . Сделаем чертеж (рис. 3.14).

Y

1

O

Рис. 3.14. Геометрическое построение к примеру 3.2

Пример 3.3. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобразить кривую: x2 10x 2y 21 0.

Решение. Так как А С 1 0 0 , то данное уравнение определяет параболу. Выделяя полные квадраты и приведя подобные, уравнение можно привести к виду:

x2 10x 25 2y 21 25 0 ,

(x 5)2 2y 4 .

Получим уравнение параболы

63

(x 5)2 2( y 2)

с вершиной в точке (-5,-2) и параметром p 1 . Найдем точки пересечения параболы с осями координат, для удобства построения. Точки пересечения с осью ОХ получаем при y=0, решая уравнение x2 10x 21 0 , находим точки x1 7 и x2 3 , значит, имеет точки (-7;0) и (-3;0). Точку пересечения с осью ОY получаем при x=0, решая уравнение 2 у 21 0 , находим точку у1 10,5 , значит точка (0;10,5). Сделаем чертеж (рис. 3.15).

Y

10,5

Рис. 3.15. Геометрическое построение к примеру 3.3

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

3.13. Определить вид кривой, привести уравнение к каноническому виду, изобразить кри-

вую:

3.6. Кривые второго порядка в полярных координатах или заданные параметрическим образом

Как показано в пункте 1.2 пример 1.7, все кривые второго порядка в полярной системе ко-

Еще раз отметим, что, если, если 1, то кривая, определяемая данным уравнением, есть

64

кальный параметр для эллипса и гиперболы. Для параболы p имеет тот же смысл, что и в уравнении в декартовой системе координат y2 2 px (то есть p – расстояние от фокуса до дирек-

трисы).

В пункте 2.1 пример 2.1– 2.4 приводятся параметрические уравнения окружности, эллипса, параболы и гиперболы.

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

3.14. Перейти к декартовым координатам, привести уравнение к каноническому виду и по-

3.15. Написать параметрическое уравнение следующих кривых и построить их графики:

ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

4.1. Вычисление площадей плоских фигур

Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением

( ) ,

где ( ) – непрерывная функция при . Тогда площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой ( ) и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и (рис. 4.1), вычисляется по формуле:

S 1 2 ( )d . 2

( )

Рис. 4.1. Криволинейный сектор в полярных координатах

65

Пример 4.1. Найти площадь фигуры, ограниченной трехлепестковой розой a cos3

(см. рис. 1.12).

Решение. Найдем сначала площадь половины одного лепестка розы, т.е. 1/6 часть всей площади фигуры:

Ответ: S 4a2 (ед2 ).

Пример 4.2. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли a cos 2

(см. рис. 1.15).

66

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

4.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярной системе координат. Фигуру изобразить на чертеже: а) 3cos , 0 2 ; б) 3(1 cos ) , 0 2 ; в) 4 sin 2 ; г) 2 , один виток спирали Архимеда и полярная ось.

4.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в параметрической форме. Фигуру изобразить на чертеже: а) x 5cos2 t , y 5sin 2 t ; б) x 3cost , y 3sin t .

4.2. Вычисление длины дуги кривой

Пусть кривая AB задана уравнением в полярных координатах ( ) , где ( ) - непрерывная функция с непрерывной производной при . Тогда длина кривой AB находится по формуле:

Пример 4.5. Найти длину кардиоиды a(1 cos ) .

Решение. Кардиоида имеет вид, изображенный на рис. 1.19. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:

67

Пример 4.6. Найти длину первого витка архимедовой спирали a .

Решение. Первый виток спирали Архимеда образуется при изменении полярного угла от 0 до 2 (см. рис. 1.20). Тогда

где x(t) и y(t) – непрерывные функции с непрерывными производными при t . Тогда длина кривой AB находится по формуле:

Пример 4.7. Найти длину дуги одной арки циклоиды:

Решение. Из уравнения циклоиды находим

x a(1 cost),

y a sin t,

68

когда x пробегает отрезок[0, 2 a], параметр t пробегает отрезок [0, 2 ]. Следовательно, получаем

x a cos3 t,

Пример 4.8. Найти длину астроиды:

y a sin 3 t.

Решение. Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной в первой четверти.

Из уравнения астроиды находим

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

4.3.Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в полярной системе координат: а)

4 cos ; б) 4(1 cos ) ; в) 5sin ; г) sin 3 3 , 0 t 2 .

4.4.Вычислить площадь фигуры, длину дуги кривой, заданной уравнением в параметриче-

69

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Современную науку невозможно представить без применения графиков. Они стали средством научного анализа и обобщения, а так же являются необходимый элемент в практической и исследовательской работе инженерно-технических специалистов. Поэтому так важно понимать и хорошо владеть техникой построения графиков функций в разных системах координат.

Предлагаемое учебное пособие позволит учащимся разобраться с основными понятиями построения функций, заданных параметрическим образом и в полярной системе координат.

Эти знания, безусловно, помогут Вам при изучении таких разделов как аналитическая геометрия, приложение определенных и кратных интегралов к задачам геометрии и механики, дифференциальное исчисление функции одной переменной и др. В качестве справочного материала может быть использовано при выполнении курсовых и дипломных проектов.

Авторы надеются, что данное пособие будет хорошим подспорьем для студентов, как во время аудиторных занятий, так и в процессе самостоятельной работы.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г.Н. Берман. – М.: Наука.

–2003 г. – 416 с.

2. Бронштейн И.П. Справочник по математике / И.П. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М.:

Наука, 1986. – 345 c.

3. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике / М.Я. Выгодский. – М.: ООО

«Изд-во АСТ», 2003. – 509 с.

4. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике / М.Я. Выгодский. – М.: ООО «Издво Астрель»: «Изд-во АСТ», 2003. – 499 с.

5. Грибов А.Ф. Построение кривых, заданных параметрически и в полярной системе координат: Методические указания / А.Ф. Грибов, А.В. Котович, О.М. Минеева. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 31 с.

6. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.: Выс. шк., 2000. – 255 с.

7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии / Д.В. Клетеник. – М.: Наука,

1980. – 240 с.

8. Микуцкая Г.С. Построение кривых и поверхностей / Г.С. Микуцкая, В.Н. Стефанова,

Г.Г.Судакова. – Л.: ЛКИ, 1992. – 105 с.

9. Минорский, В.П. Сборник задач по высшей математике / В.П. Минорский. – М.: Наука,

1987. – 287 c.

10. Привалов И.И. Аналитическая геометрия: учебник / И.И. Привалов.– СПб.: Изд-во

«Лань», 2004. – 304 c.

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С Пискунов. – М.:

Наука, 2003. – 309 c.

12. Соболев С.К. Исследование и построение плоских кривых, заданных параметрически и в полярных координатах / С.К. Соболев, А.Т. Ильичев. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,

2004. – 78 с.

13. Райхмист Р.Б. Графики функций / Р.Б. Райхмист. – М.: Высшая школа, 1991. – 151 с. 14. Шипачев В.С. Высшая математика / В.С. Шипачев. – М.: Высшая школа, 2003. – 425 c.

70