3007

Y

M(x,y)

Лемниската Бернулли симметрична относительно начала координат, которое является узловой точкой с касательными y x и точкой перегиба. Площадь каждой петли S a2 . Лемни-

ската Бернулли названа по имени Я. Бернулли, в статье которого впервые встречается уравнение этой кривой (1694 г.).

21

При изменении угла в пределах III четверти будет принимать те же значения, что и в I четверти. Поэтому линия будет расположена симметрично относительно начала координат. Для ее построения проводим из полюса лучи, соответствующие выбранным значениям , и на каж-

дом луче откладываем найденные значения полярного радиуса. Полученные точки соединяем плавной линией (рис. 1.16).

2 9sin 2 9 2 sin cos 18sin cos , то, используя формулы (1.1) и (1.2) перехода к де-

Окончательно имеем

x2 y2 2 18xy .

1.3.3. Кардиоида

Плоские кривые, представляющие траектории точки окружности, катящейся по другой окружности и имеющей с ней внешнее касание, называются эпициклоидами. В зависимости от величины отношения m R / r ( r и R – радиусы катящейся и неподвижной окружностей соответственно), получаются эпициклоиды различной формы. При m 1 эпициклоида называется кар-

22

диоидой. Рассмотрим пример, позволяющий более подробно рассмотреть эту кривую.

Пример 1.16. Окружность диаметра а катится без скольжения по внешней стороне другой, неподвижной окружности такого же диаметра. В полярной системе координат составить уравнение линии, описанной некоторой фиксированной точкой катящейся окружности.

Решение. Пусть на плоскости дана некоторая точка O (полюс) и проходящая через нее ось O (полярная ось), а также указана единица масштаба. Построим окружность диаметра а с

центром в точке C2 (рис. 1.17). Это неподвижная окружность, по ней катится без скольжения окружность такого же диаметра с центром в точке C1, оставаясь, все время вне неподвижной окружности. Траектория некоторой точки M окружности катящегося круга называется кардиои-

дой.

Пусть A – первоначальное положение точки, описывающей искомую линию (точка A диаметрально противоположна точке B, где в начальный момент соприкасаются окружности); M – новое положение точки A, описывающей искомую линию. После перемещения окружности C1 в положение C3 точка P займет положение D, причем, поскольку качение происходит без скольжения, длина дуги BQ равна длине дуги DQ, QC2 B QC3D . На рис. 1.17 ось OX совмещена с

полярной осью O , полюс – с началом координат. Требуется составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки M ( , ) искомой линии.

M

Рис. 1.17. Геометрические построения к выводу уравнения кардиоиды

Угол MC3Q равен углу OC2Q , в силу чего четырехугольник OC2C3M является равнобед-

а соответствующая ему кривая является кардиоидой (рис. 1.18).

23

Y

M

y

0 x N X ,

Рис. 1.18. Кардиоида a(1 cos )

Поскольку при замене на уравнение кардиоиды не меняется, то кардиоида распо-

Полученное уравнение кардиоиды в декартовых координатах весьма сложно, поэтому для построения этой кривой удобнее всего использовать уравнение в полярных координатах

a(1 cos ) .

Пример 1.17. Построить кривую, заданную уравнением в полярных координатах

a(1 cos ) .

Решение. Заданная кривая также называется кардиоидой. Для ее построения используем тот факт, что при замене на , (в силу четности косинуса) уравнение не изменится, то есть кривая будет симметрична относительно полярной оси. Поэтому таблицу значений для функции

24

( ) a(1 cos ) достаточно составить для 0 , а затем отобразить эту часть графика на интервал 2 . Для удобства построения составим табл. 1.4.

Точки с координатами, заданными таблицей, строим в полярной системе координат, используя полярную сетку (см. пример 1.13). Соединив полученные точки плавной линией, получим заданную кривую (рис. 1.19).

/ 2

Рис. 1.19. Построение кардиоиды a(1 cos ) с использованием полярной сетки

Задачи и упражнения для самостоятельной работы

1.9.Построить кривые: а) sin 3 ; б) cos2 ; в) 2(1 cos ) .

1.10.Построить кривые: а) 2 cos ; б) 3 2sin 2 ; в) 2 sin 3 .

1.4. Спирали

Спиралями называются плоские кривые, которые обходят вокруг одной или нескольких точек, приближаясь или удаляясь от них. Алгебраические спирали – спирали, уравнения которых в полярных координатах являются алгебраическими относительно переменных и . Далее подробно рассмотрим следующие алгебраические спирали: спираль Архимеда, гиперболи-

25

ческую спираль, спираль Галилея, спираль Ферма, параболическую спираль, жезл, а также логарифмическую спираль.

1.4.1. Спираль Архимеда

Спираль Архимеда представляет собой путь, описываемый некоторой точкой, движущейся с постоянной скоростью v по лучу, вращающемуся около полюса O с постоянной угловой ско-

ростью . Ее уравнение в полярных координатах a , где a v , . Для доказа-

тельства рассмотрим следующий пример.

Пример 1.18. Точка М равномерно перемещается по лучу, вращающемуся равномерно около полюса. Составить уравнение линии, описанной точкой М, если в начальный момент вращающийся луч совпадает с полярной осью, точка М – с полюсом, а при повороте луча на угол 1 (один радиан) точка М удалилась от полюса на расстояние а.

Решение. Так как в начальный момент и равны нулю, а затем оба возрастают про-

порционально времени, то они связаны прямой пропорциональной зависимостью const. Но

Получили уравнение кривой – спирали Архимеда. В декартовых координатах уравнение имеет вид

Пример 1.19. Построить спираль Архимеда, заданную уравнением 12 .

Решение. Составим табл. 1.5 значений функции ( ) 12 .

Таблица 1.5

Полярные координаты точек спирали Архимеда 12

веден один виток спирали Архимеда.

26

М6

М8

М7

Рис. 1.20. Спираль Архимеда

1.4.2. Гиперболические спирали

Гиперболические спирали состоят из двух ветвей, расположенных симметрично относительно оси OY. В полярных координатах уравнение первой ветви

График гиперболических спиралей представлен на рис. 1.21, где совмещены полярная ось с положительной полуосью ОХ, а полюс – с началом координат. Для обеих ветвей прямая y a

y a

Рис. 1.21. Две ветви гиперболической спирали:

27

Рис. 1.22. Спираль Галилея a 2 l , l 0 .

1.4.4. Спираль Ферма

Спираль Ферма (рис. 1.23) – плоская кривая, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

Спираль относится к типу алгебраических спиралей. Каждому значению соответствует два значения – положительное и отрицательное. Спираль Ферма центрально симметрична относительно полюса, который является точкой перегиба.

28

0

Рис. 1.23. Спираль Ферма 2 a2

1.4.5. Параболическая спираль

Параболическая спираль представляет собой плоскую кривую, уравнение которой в полярных координатах имеет вид

Кривая состоит из двух ветвей: a l и a l . Вторая из них образует с пер-

вой бесконечное множество двойных точек. Кривая имеет также одну точку перегиба (рис. 1.24). Действительно, касательная и кривая в точке 0 совпадает с полярной осью, а кривизна

K2 2 2 3 / 2

2 2

обращается в нуль при 1 , где 1 0 – корень уравнения

Если l 0 , то кривая (1.20) становится спиралью Ферма (см. рис. 1.23).

29

каждая из которых асимптотически приближается к полюсу (рис. 1.25).

точками перегиба.

1.4.7. Логарифмические спирали

Линия, задаваемая в полярных координатах уравнением

где a и k – положительные постоянные, называется логарифмической спиралью.

Пример 1.20. Требуется построить график логарифмической спирали 2ek .

Решение. Придавая различные значения ( ) и определяя соответствующие значения , можно найти множество значений , , удовлетворяющих данному уравнению. Сначала определим значения по выбранным значениям из интервала и составим соответствующую табл. 1.6. Как видно из этой таблицы, при возрастании угла в арифметиче-

ской прогрессии с разностью 2 полярный радиус возрастает в геометрической прогрессии со

30