Высшая математика. Функции нескольких переменных: практикум. Пантелеев И.Н

Подставляя координаты точки касания и значения производных в этой точке в уравнение касательной прямой (2), получим:

лежит в плоскости, перпендикулярной оси у.

Уравнение нормальной плоскости (5), в нашем случае,

в) Если линия определена пересечением двух поверхностей:

различных параметрических уравнений). Пусть x = t, тогда из решения системы:

121

2t 2 +3y2 + z2 = 9

3t 2 + y2 − z2 = 0

Показать, что винтовая линия пересекает образующие цилиндра x2 + y2 = a2 под одинаковым углом.

Решение. Находим производные: x = −asin t , y = a cos t , z = b . Отсюда уравнение касательной прямой в любой точке

перпендикулярной оси х и отстоящей от начала координат на

122

расстоянии x = −a .

Образующие цилиндра x2 + y2 = a2 параллельны оси Oz.

Находим направляющий косинус угла, образованного касательной с осью Oz:

Поскольку касательные к винтовой линии образуют с осью Oz один и тот же угол, то они отсекают и образующие под этим же углом.

7.5. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой: x2 + y2 + z 2 = 9 , x2 − y 2 = 3 в точке M 0 (2,1,2) .

Решение. Пространственная кривая задана пересечением двух поверхностей. Дифференцируя уравнения поверхностей, считая х независимой переменной, будем иметь

xdx + ydy + zdz = 0 , xdx − ydy = 0

и

dx2 + dy 2 + yd 2 y + dz 2 + zd 2 z = 0 , dx 2 − dy 2 − yd 2 y = 0 .

Отсюда, полагая x0 = 2 , x0 =1 , x0 = 2 , получим dy = 2dx , dz = −2dx , d 2 y = −3dx 2 , d 2 z = −3dx2 .

Таким образом, соприкасающаяся плоскость определяется векторами {dx,2dx,−2dx} и {0,−3dx 2 ,−3dx 2 } или

{1,2,−2} и {0,−3,3} .

Следовательно, нормальный вектор соприкасающейся плоскости будет

123

2.8. Кривизна и кручение пространственной кривой

10. Кривизна пространственной кривой в точке М определяется аналогично кривизне плоской кривой. Если

где R — радиус кривизны.

G GЕсли кривая задана параметрическим уравнением r = r (t) , то кривизна определяется выражением

20. Под кручением или второй кривизной кривой в точке М понимается число

— радиус кручения или радиус второй кривизны. Если кривая задана уравнением r = r (s) , то

GЗнак минус соответствует тому случаю, когда векторы vG

иdsβ имеют одинаковое направление; знак плюс — в

противоположном случае.

Если кривая задана уравнением r = r (t) , т. е. параметрически, то

124

Окончательно получим

125

y2 − 2x + z = 0 в точке (1,1,1).

Решение. Пространственная кривая задана пересечением двух поверхностей. Дифференцируем уравнения поверхностей, считая х независимой переменной

xdx − ydy + zdz = 0 , 2 ydy −2dx + dz = 0

и

dx2 − dy2 − yd 2 y + dz 2 + zd 2 z = 0 , 2dy 2 + 2 yd 2 y + d 2 z = 0 .

x2 = 6a2 z в произвольной точке M(x,y,z).

Решение. Дифференцируем уравнения обеих поверхностей, считая х независимой переменной

126

Кривизна и кручение определяются по формулам (2),(4), соответственно. Для этого находим

Таким образом, кривизна кривой в точке М равна

127

3. КРАТКИЙ ОБЗОР СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3.1. Определение функции нескольких переменных

Переменная z называется функцией двух переменных х и у, если каждой паре (х; у) значений двух независимых друг от друга переменных величин х и у из некоторой области D соответствует определенное значение z.

Обозначения: z= f(х; у), z = F(х; у), z= z(х; у) и так далее.

Переменная величина u называется функцией от n переменных х; у; z; . . . ;t, если каждому набору этих переменных соответствует единственное значение переменной u:

u= f(х; у;z; . . . ;t).

Всякая функция нескольких переменных становится функцией меньшего числа переменных, если часть переменных (аргументов) зафиксировать. Например, функции u= f(х;у;z), u= f(х;у;а), u= f(х;b;а), где а и b— постоянные, являются функциями соответственно трех, двух и одной переменной.

В дальнейшем, в основном, будем рассматривать функции двух переменных z= f(х; у) или z= z(х; у). Под функцией

z= f(х; у) будем понимать также функцию точки М (х; у) с координатами х и у.

Множество D всех точек (х; у), при которых z= f(х; у) имеет смысл, называется областью определения, а множество значений z, принимаемых функцией z= f(х; у) при (х;у) D,

называется областью изменения или множеством значений

функции.

3.2. График функции двух переменных. Линии уровня

Множество точек пространства R 3 с координатами (х; у; z) = (х; у; f(х, у)) при всех (х; у) D называется графиком функции z= f (х;у). Для наглядного геометрического

128

представления используют линии уровня для функции двух переменных и поверхности уровня для функции трех переменных. Линей уровня функции z= f(х; у) называется множество всех точек плоскости Оху, в которых функция z принимает постоянное значение, т.е. f(х; у) = с, где с - постоянная.

Поверхностью уровня функции трех переменных

u= f(х;у;z) называется множество всех точек пространства Охуz, в которых функция u принимает постоянное значение,

т. е. f(х; у;z) = с, где с = const.

3.3. Предел функции в точке

Под (d-окрестностью точки М0 (х0 ; y 0 ) будем понимать круг (открытый) радиуса d с центром в точке М0 (х0 ; y 0 ) т. е.

(х - x 0 ) 2 + (у - y 0 ) 2 < d 2 .

Если из этого круга удалить его центр, то получим проколотую d- окрестность точки М0 (х0 ; y 0 ) , т. е.

0 < (х - х0 ) 2 + (у - y 0 ) 2 < d 2 .

Предположим, что функция двух переменных z= f(х; у) определена в некоторой проколотой d-окрестности точки М0 .

Число А называется пределом функции z = f (х; у) в точке М0 (х0 ; y 0 ), если для любого ε >0 (сколь угодно малого)

найдется число δ = δ(ε) > 0 такое, что для всех М(х; у), отличных от М0 (х0 ; y 0 ) и отстоящих от М0 меньше, чем на δ

129

Очевидно, что процесс поиска предела функции двух переменных, а тогда и доказательство равенства

А = lim f (x; y)

x→x0 y→y0

существенно сложнее случая одной переменной хотя бы потому, что условия

сложнее и разнообразнее: в них заложено произвольное приближение точки М (х;у) к точке М0 (х0 ; y 0 ) .

Наряду с определением предела, приведенным выше, который также называется двойным пределом, имеет смысл

условиях эти пределы могут оказаться равными и совпадающими с двойным.

Замечание. Данное определение двойного предела будем сохранять и в том случае, когда функция f (х; у) определена только на некотором множестве Е, имеющем предельную точку М0 . Точка М0 называется предельной точкой (или

точкой сгущения) множества Е, если каждая окрестность М0

содержит хотя бы одну точку множества Е. В таком случае x → x0 , y → y0 или (x; y) → (x0 ; y0 ) означает, что точка М(х;у) принадлежит только множеству Е.

При вычислении двойных пределов можно и нужно использовать известные теоремы о пределах для функции одной переменной, для краткости, будем писать f(М) вместо f(х; у).

130