2405
.pdfгде N (x0 +θ x, y0 +θ |
y) - некоторая точка, лежащая на отрезке |
M0M , ( 0 <θ <1) . |
Последнее слагаемое (остаточный член) |
можно записать в форме Пеано o(ρn ), где ρ = ( x)2 +( y)2 , а символ o(ρn ) означает бесконечно малую при ρ → 0 (или при M → M0 ) функцию более высокого порядка малости, чем
ρn .
Доказательство. Введем в рассмотрение вспомогательную
функцию φ(t) = f (x0 +t |
x, y0 +t |
y) = f (Mt ) , определенную на |
|||||||||||||||
отрезке |
[0,1], |
причем |
φ(0) = f (M0 ), |
φ(1) = f (M ). Найдем |
|||||||||||||
производные функции φ(t) до n -го порядка включительно: |
|||||||||||||||||
φ′(t) = fx′(Mt ) x + fy′(Mt ) y = ( |
∂ |
x + |
∂ |
y) |Mt = df (Mt ); |
|||||||||||||
∂x |
∂y |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
φ′′(t) =fxx′′(Mt ) x2 + 2 fxy′′(Mt ) x y +fyy′′(Mt ) y2 = |
|||||||||||||||||
= ( |
∂ |
x + |
∂ |
y) |
2 f | |
= d |
2 f (M |
|
); |
|
|
|
|
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
||||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
Mt |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
φ(n) (t) = ( |
∂ |
x + |
∂ |
y)n f | = d n f (M |
) . |
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
∂x |
∂y |
|
Mt |
|
|
t |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формуле Маклорена для функции φ(t) одной переменной имеем:
′ |
|
φ |
′′ |
|
2 |
|
|
|
φ |
(n) |
(0) |
|
n |
|
φ |
(n+1) |
(θ) |
|
(n+1) |
|
||||||
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
φ(t) =φ(0) +φ (0)t + |
|
2! |
t |
|
+... + |
|
|
n! |
|
t |
|
|
+ |
|
|
|
|
t |
|
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
||||||||||||||||
где 0 <θ <1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагая t =1, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
φ |
′′ |
|
|
|
φ |
(n) |
(0) |
|
φ |
(n+1) |
(θ) |
|
|
|
|
|||||||||
|
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
φ(1) =φ(0) +φ |
(0) + |
|
2! |
+ |
... + |
|
|
n! |
|
|
+ |
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
151
С учетом того, что φ(1) =f (M ) , φ(k ) (0) = d k f (M0 ) , |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
φ(n+1) (θ) = f (x +θ |
|
|
x, y +θ |
|
y) = f (N ) имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
n+1 |
f (N ) |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (M ) = f (M0 ) +∑d |
|
|
|
f (M0 ) |
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
В частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f (x, y)=f (x |
, y |
)+ ∂f (x0 , y0 ) |
(x− x |
|
)+ ∂f (x0 , y0 ) ( y−y ) + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
[ |
∂2 |
f (x ,y |
) |
(x−x |
|
)2 + |
|
|
|
∂2 |
|
f (x , y |
|
|
) |
(x − x )( y − y |
|
) + |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2! |
|
|
∂x2 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
+ |
|
∂2 f (x , y ) |
( y − y |
|
)2 ] |
+ |
1 |
|
[ |
∂3 |
|
f (x , y ) |
(x |
− x |
)3 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
∂x3 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
+3 |
∂3 |
f (x , y ) |
(x − x )2 |
( y − y |
|
) + |
|
3 |
∂3 f (x , y ) |
(x − x |
|
)( y − y |
)2 |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
∂x2 ∂y |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x∂y |
2 |
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂3 f (x , y ) |
( y − y |
)3 ] + |
... + |
|
1 |
[ |
∂ |
(x − x ) + |
|
∂ |
( y − y |
)]n f | |
|
|
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y3 |
|
|
|
|
n! |
∂x |
|
∂y |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
( x0 |
, y0 ) |
|
||||||||||||||
+ |
|
|
|
1 |
|
|
[ |
∂ |
(x − x |
|
) + |
∂ |
( y |
|
− y |
0 |
)](n+1) f | |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(n + |
1)! |
|
|
∂x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x +θ x, y +θ y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Остаточный член |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
[ |
∂ |
(x − x |
) + |
∂ |
( y − y |
|
)](n+1) |
|
f | |
+θ |
x, y +θ |
y) |
можно |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(n +1)! |
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
записать в виде o(ρn ) , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = (x − x )2 + ( y − y |
0 |
)2 |
|
= ( x)2 + ( y)2 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
152
|
|
x |
|
Пример. Разложить функцию |
f (x, y) = e |
y |
по формуле |
Тейлора с центром разложения в точке M0 (0,1) до членов второго порядка включительно.
Решение. Найдем частные производные функции f (x, y) до второго порядка включительно:
∂f |
|
|
x |
|
1 |
|
∂f |
|
|
|
x |
|
x |
|
∂2 f |
|||||||||
= e y |
; |
|
= e y (− |
); |
||||||||||||||||||||
∂x |
|
y |
∂y |
y2 |
|
∂x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
∂2 |
f |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
= e y |
|
(− |
|
|
) + e y |
(− |
|
|
|
); |
|||||||||||||
|
∂x∂y |
|
y3 |
|
y2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В точке M0 (0,1) имеем
x
= e y y12 ;
∂2 f |
= e |
x |
|
x2 |
+e |
x |
|
2x |
. |
y |
y |
||||||||
∂y2 |
|
y4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y3 |
|
f |
(M0 ) =1, |
∂f |
(M0 ) =1; |
∂f |
(M0 ) = 0; |
∂2 f |
(M0 ) =1; |
||||||
|
∂x |
∂y |
∂x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
∂2 f |
(M |
0 |
) = −1; |
∂2 |
f |
(M |
0 |
) = 0. |
Подставляя |
эти выражения в |
||||
∂x∂y |
∂y2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулу Тейлора, получаем
x
e y =1+ x + 12 x2 − x( y −1) + R3 =1+ 2x + 12 x2 − xy + R3.
В форме Пеано R3 = o(x2 +( y −1)2 ).
3.19. Условный экстремум |
|
Рассмотрим функцию |
|
u = f (M ) = f (x1, x2 ,...xm ) |
(3) |
при условии, что ее аргументы являются не независимыми переменными, а связаны между собой k соотношениями
(k < m) :
153
ϕi (x1, x2 ,..., xm ) = 0 |
(i =1,2,..., k). |
(4) |
||||
Эти соотношения называются |
условиями связи. |
Пусть |
||||
координаты точки M |
0 |
(x0 |
, x0 ,..., x0 |
) удовлетворяют |
|
|
уравнениям (4). |
1 |
2 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определение. Функция (3) |
имеет в точке M0 |
условный |
минимум (максимум) при условиях связи (4), если существует
такая окрестность |
точки |
M0 , что для любой |
точки M |
||
( M ≠ M0 ) |
этой |
окрестности, |
координаты |
которой |
|
удовлетворяют уравнениям |
(4), |
выполняется неравенство |
|||
f (M ) > f (M0 ) ( f (M ) < f (M0 )) . |
|
|
Иными словами, условный максимум (минимум)- это наибольшее (наименьшее) значение функции в точке M0 по
отношению не ко всем точкам из некоторой окрестности точки M0 , а только к тем из них, которые связаны между собой
условиями связи.
Задачу об условном экстремуме функции можно решать
методом исключения части переменных. Этот метод состоит в том, что из k уравнений условий связи k переменных выражают через остальные m − k переменных (если это возможно), подставляют найденные переменные в функцию u = f (M ) = f (x1, x2 ,...xm ) и решают задачу об экстремуме
функции m − k переменных.
Пример. Методом исключения части переменных найти экстремум функции u = x + y + z2 при условиях связи
z − x =1,y − xz =1.
Решение. Из условий связи находим z = x +1, y = xz +1 . Подставляя найденные z, y в функцию, приходим к функции
154
одной переменной |
x |
: |
u(x) = 2x2 + 4x + 2 , для |
которой |
||
рассмотрим задачу |
о |
безусловном |
экстремуме. |
Так как |
||
u′ = 4(x +1) = 0 |
при |
x = −1, то |
функция u(x) |
имеет |
||
единственную |
точку |
возможного |
экстремума. Поскольку |
|||
′′ |
в точке x = −1 |
функция u(x) имеет минимум. |
||||
u (−1) = 4 > 0, |
Из условий связи находим соответствующие значения z, y : z = 0, y =1. Итак, функция u(x) при заданных условиях связи имеет в точке (-1,1,0) минимум, причем u(−1,1,0) = 0.
Метод Лагранжа. Задача об условном экстремуме функции
(3) при условиях связи (4) эквивалентна задаче об обычном экстремуме функции Лагранжа
k
L(x1 , x2 ,..., xm , λ1 ,...λk ) = f (x1 , x2 ,..., xm ) + ∑λiϕi (x1 , x2 ,..., xm ) ,
i=1
λi ( i =1, 2,..., k) - называются множителями Лагранжа.
Необходимые условия условного экстремума выражаются системой m + k уравнений :
|
|
|
|
|
∂L |
(x1 , x2 ,..., xm , λ1 ,...λk ) = 0, i =1, 2,..., m, |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
∂xi |
(5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕi (x1 , x2 ,..., xm ) = 0, i =1, 2,..., k |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
относительно |
m + k |
неизвестных |
x1 , x2 ,..., xm , λ1 ,...λk . Если |
||||||||||
x0 |
, x0 |
,..., x0 , λ0 ,...λ0 |
- |
решение |
системы |
(5), |
то |
||||||
1 |
|
2 |
|
|
m |
1 |
|
k |
|
|
|
|
|
M |
0 |
(x0 |
, x0 |
,..., x0 |
) является |
точкой |
возможного |
экстремума |
|||||
|
|
1 |
2 |
|
m |
|
|
|
|
|
|
функции (3) при условиях связи (4). Достаточные условия условного экстремума связаны с изучением знака второго дифференциала функции Лагранжа
d 2 L(x10 , x20 ,..., xm0 , λ10 ,...λk0 , dx1 ,..., dxm ) .
155
Для каждой системы значений x10 , x20 ,..., xm0 , λ10 ,...λk0 , полученной из (5) при условии, что dx1 ,..., dxm удовлетворяют уравнениям
|
|
|
m |
∂ϕ |
(x0 ,..., x0 |
) |
dxj |
= 0 (i =1, 2,..., k) |
(6) |
|
|
|
|
∑ |
i |
1 |
m |
|
|||
|
|
|
j=1 |
|
∂xj |
|
|
|
|
|
при dx2 + dx2 |
+... + dx2 |
≠ 0. |
|
|
|
|
||||
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
Функция u = f (M ) = f (x1, x2 ,...xm ) |
имеет условный максимум |
|||||||||
в точке M |
0 |
(x0 , x0 |
,..., x0 |
) , если для всевозможных значений |
|
|||||
|
1 |
2 |
|
m |
|
|
|
|
|
dx1 ,..., dxm , удовлетворяющих условиям (6) и не равных
одновременно |
|
нулю, |
выполняется |
|
неравенство |
||||||||||
d 2 L(x0 |
, x0 ,..., x0 |
, λ0 |
,...λ0 |
, dx ,..., dx |
|
) < 0 (квадратичная |
форма |
||||||||
1 |
2 |
m |
1 |
k |
1 |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отрицательно |
|
определена) и условный минимум, |
если при |
||||||||||||
этих |
условиях |
|
d 2 L(x0 |
, x0 |
,..., x0 |
, λ0 ,...λ0 , dx ,..., dx |
) > 0 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
m |
1 |
|
k |
1 |
m |
|
(квадратичная форма положительно |
определена) то в точке |
||||||||||||||
M0 функция (3) имеет условный минимум |
при условии связи |
||||||||||||||
(4), |
если |
|
d 2 L(x0 |
, x0 ,..., x0 , λ0 |
,...λ0 |
, dx ,..., dx ) - |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
m |
1 |
k |
|
1 |
m |
знакопеременная квадратичная форма, |
то в точке M0 |
функция |
|||||||||||||
(3) не имеет условного экстремума. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Пример 1. Методом Лагранжа найти экстремум функции |
|||||||||||||||
u = x + y + z2 |
при условиях связи |
z − x =1, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
− xz =1. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
Решение. Составим функцию Лагранжа
L(x, y, z, λ1 , λ2 ) = x + y + z2 + λ1 (z − x −1) + λ2 ( y − xz −1) и
рассмотрим систему уравнений
156
∂L |
=1 − λ − λ z = 0, |
|||||||
∂x |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
∂L |
|
|
|
|
||
|
|
=1 |
+ |
λ2 |
= 0, |
|||
|
|
∂y |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
∂L = 2z + |
|
|
|
||||
|
λ |
− |
λ x = 0, |
|||||
|
∂zϕ |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
= z − x −1 = 0, |
||||||
|
ϕ |
1 |
= y − xz −1 = 0. |
|||||
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Она |
имеет |
единственное |
решение |
||
x = −1, y =1, z = 0, λ1 =1, λ2 |
= −1, |
то |
есть |
M0 (−1,1,0) - |
единственная точка возможного экстремума функции при заданных условиях связи. Вычислим второй дифференциал
функции |
Лагранжа |
d 2 F = 2(dz)2 − 2λ dxdz и подставляя |
λ2 = −1 и |
dz = dx , |
2 |
найденное из первого уравнения связи, |
||
получаем |
положительно определенную квадратичную форму |
от переменной dx : 4(dx)2 > 0 при dx ≠ 0 . Отсюда следует, что
функция при заданных условиях связи имеет в |
точке M0 |
|
условный минимум. |
|
|
Пример 2. На эллипсоиде x2 |
+ 2 y2 + 4z2 = 8 найти точку, |
|
наиболее удаленную от точки (0,0,3). |
|
|
Решение. Расстояние между точками (x, y, z) |
и (0,0,3) |
|
определяется формулой ρ = |
x2 + y2 + (z −3)2 . |
Поэтому |
исходная задача равносильна задаче об условном максимуме
функции |
u = ρ2 = x2 + y2 + (z −3)2 при условии связи |
x2 + 2 y2 |
+ 4z2 = 8 . Составим функцию Лагранжа |
L(x, y, z, λ) = x2 + y2 + (z −3)2 + λ(x2 + 2 y2 + 4z2 −8)
и рассмотрим систему уравнений:
157
|
∂L |
= 2x + 2λx = 0, |
||
|
∂x |
|||
|
∂L |
|
|
|
|
= 2 y + |
4λy = 0, |
||
|
∂y |
|||
|
|
|
||
|
∂L |
= 2z − 6 |
+8λz = 0, |
|
|
∂z |
|||
|
|
|
|
ϕ = x2 + 2 y2 + 4z2 = 8.
Так как эллипсоид более всего вытянут вдоль оси Ox , то абсцисса искомой точки не может быть равна нулю, то есть x ≠ 0 . Поэтому из первого уравнения системы следует, что λ = −1. Тогда из второго и третьего уравнений системы имеем
y = 0, z = −1. |
Из последнего уравнения |
системы |
находим |
||||
x = ±2. |
Итак, функция имеет две |
точки |
возможного |
||||
экстремума |
M1 (2, 0, −1), M2 (−2, 0, −1) . Из уравнения |
связи |
|||||
получим |
xdx + 2 ydy + 4zdz = 0 , откуда |
dz = − |
x |
dx − |
y |
dy. |
|
4z |
|
||||||
|
|
|
|
|
2z |
Теперь вычисляем второй дифференциал функции Лагранжа
d 2 L = 2(1 + λ)(dx)2 + 2(1 + 2λ)(dy)2 + 2(1 +8λ)(dz)2 .
Подставим λ = −1, координаты точки M1 и выражение для dz , получаем отрицательно определенную квадратичную форму от двух переменных dx, dy : d 2 L = −2(dy)2 −3,5(dx)2 .
Отсюда следует, |
что функция имеет в точках |
M1 (2, 0, −1), M2 (−2, 0, −1) |
условный максимум при заданных |
условиях связи, то есть на эллипсоиде имеются две точки M1 (2, 0, −1), M2 (−2, 0, −1) наиболее удаленные от точки (0,0,3).
158
3.20. Примеры решения типовых задач
Частные производные
Постановка задачи. Найти частные производные до второго порядка включительно функции z=f(x1,x2,…,xn).
План решения.
1. Чтобы найти частную производную функции z=f(x1,x2,…,xn) по переменной хк, фиксируем остальные переменные и дифференцируем f как функцию одной переменной хк.
2. Частные производные высших порядков вычисляются аналогично последовательным дифференцированием, т.е.
|
∂ |
2 |
f |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂f |
|
||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||||||
|
∂x 2 |
∂x |
1 |
|
∂x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
∂ |
|
2 |
f |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂f |
|
|
||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||||||
∂x |
2 |
∂x |
1 |
∂x |
|
|
|
∂x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
∂ |
2 |
f |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
∂f |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|||
∂x |
∂x |
2 |
|
∂x |
2 |
|
∂x |
|
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
∂ |
2 |
f |
= |
|
∂ |
|
∂f |
|
|||||
|
|
|
, … |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂x22 |
|
∂x2 |
∂x2 |
|
Замечание. Частные производные можно обозначать также |
|||
′ |
′ |
′′ ′′ |
′′ |
и т.д. |
z x1 |
, z x2 |
, …, z xn , z x1x1 |
, z x1x2 |
Пример. Найти частные производные до второго порядка включительно функции z = xy (x>0).
Решение.
1. Для того чтобы найти частную производную по х, фиксируем у и дифференцируем функцию z = xy как функцию одной переменной х. Используя формулу для производной степенной функции (хα)' = αхα-1, получим
z′x = yx y−1 .
Для того чтобы найти частную производную по у, фиксируем х и дифференцируем функцию z = xy как функцию одной переменной у. Использую формулу для производной показательной функции (аu ) = аu ln а (а>0), получим
z′y = x y ln x.
159
|
2. Частную производную второго порядка |
′′ |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z xx вычисляем, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируя z′x по х (при фиксированном у), т.е. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
= ( yx |
y−1 |
|
′ |
= y( y −1)x |
y−2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z xx |
|
|
|
|
|
) x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Частную |
|
|
производную |
|
второго порядка |
|
|
|
|
′′ |
вычисляем, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
z xy |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируя z′x |
по у (при фиксированном х), т.е. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
= ( yx |
y−1 |
|
|
′ |
|
= x |
y−1 |
+ yx |
y−1 |
ln x. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z xy |
|
|
|
|
) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Частную |
|
|
производную |
|
второго |
|
порядка |
|
|
|
|
′′ |
вычисляем, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z yx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируя z′y |
по х (при фиксированном у), т.е. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
y−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z yx = (x |
ln x) x |
= yx |
ln x |
+ x |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Частную |
|
|
производную |
|
второго |
|
порядка |
|
|
′′ |
вычисляем, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
z yy |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дифференцируя z′y |
по у (при фиксированном х), т.е. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z yy = (x |
ln x) y = x |
|
ln |
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ответ. |
z |
′ |
= yx |
y−1 |
, |
|
z |
′ |
|
|
= x |
y |
ln x |
|
, |
z |
′′ |
|
|
|
′′ |
|
|
= x |
y−1 |
+ yx |
y−1 |
ln x , |
||||||||||||||||||||||
x |
|
|
y |
|
|
|
|
32= z |
yx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
′′ |
|
|
|
y−1 |
|
′ |
= y( y −1)x |
y−2 |
|
|
|
|
′′ |
= x |
y |
ln |
2 |
|
x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
z xx = ( yx |
|
|
) x |
|
|
|
|
, z yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Условия задач. Найти частные производные до второго |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
порядка включительно заданных функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
z = e xy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
|
z = xli(x / y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3. |
z = sin(xy). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
z = e x cos y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
5. |
z = |
x 2 |
|
+ y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
|
z = ln(x 2 |
|
|
+ y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
7. z = 2xy + y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. z = ln 3 xy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
9. |
z = x cos y + y sin x. |
|
|
|
|
|
|
10. |
|
z = (1+ x) 2 (1+ y) 4 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Ответы. 1. |
|
|
′ |
= ye |
xy |
, |
|
|
′ |
|
= xe |
xy |
, |
|
′′ |
|
= y |
2 |
e |
xy |
, |
|
′′ |
= x |
2 |
e |
xy |
, |
||||||||||||||||||||||
|
z x |
|
|
|
z y |
|
|
|
z xx |
|
|
|
|
z yy |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
′′ |
|
|
|
|
|
xy |
(1+ xy) . 2. |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
z xy = z yx = e |
z x = ln x −ln y +1 , z y = −x / y , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
′′ |
|
= x / |
y |
2 |
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
= y cos(xy) , |
||||||||||||
z xx =1/ x , |
|
z yy |
|
|
|
, z xy |
= z yx |
= −1 / y . 3. z x |
160